$$$Estudiar si la funcion es de variacion acotada y en caso afirmativo dar una mayoracion para $V_a^b$f:$$
$$f(x)={\frac{1}{x}\hspace{1cm} $si $0> x \leq 1}$$
$$f(x)={0 \hspace{1,1cm} $si x=0}$$
Firma
$${\large \boldsymbol {{N\!ami}}}\hspace{0.07cm}^{\bigstar}$$
sea la partición\(\Pi= \lbrace 0;\frac{1}{n};\frac{1}{n-1};\frac{1}{n-2};...;\frac{1}{2};1 \rbrace\)
quiero ver que\(\Pi(f)=\sum_{k=1}^{n+1}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|\)está o no acotado
$$\sum_{k=1}^{n+1}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|=|n-0|+|n-1-n|+...+|2-1|$$
\(=|n-0|+\sum_{k=2}^{n+1}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|\)(*)
como\(f(x)=\frac{1}{x}\) con 0<x< =1 es decreciente entonces
$$\sum_{k=2}^{n+1}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|=f(x_{2})-f(x_{n+1})=n-1$$
por lo tanto(*)\(=n+n=2n-1\) que cuando yo refine mi partición n tiende a infinito por lo que
\(\Pi(f)\) no está acotada
luego no es de variación acotada
Firma
"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".