Y nos dice:
Sea \((x_n)\) acotada y P={puntos límite de xn}. Probarq ue P es compacto y además minP=lim inf xn y max P=lim sup xn.
YO hice así pero está inconcluso
P es acotado pues lo es Xn asi qeu veamos que es cerrado. Sea \((a_n)\subset P\) una sucesión de puntos límites de Xn. Me armo la siguiente subsucesión de Xn:
\(x_{n_1}\in (a_1-1,a_1+1)\) que seguro existe pues \(a_1\) es punto límite de Xn
\(x_{n_2}\in (a_2-\frac{1}{2},a_2+\frac{1}{2})\) tal que n2 es más grande que n1, cosa que puedo hacer pues alrededor de a2 hay infinitos puntos de xn por ser punto límite. Así siguiendo...
bueno aca viene la cosa... la idea es que \((x_{n_k})\) es subsucesion de Xn luego tienen que tender a algún punto límite, pero como construí la subsucesión, se ve que \(\vert x_{n_k}-a_k\vert <\frac{1}{k}\) O sea que para k grande son muy cercanas, lugo tendrán el mismo límite. Pero....
- pouedo asegurar que la \((x_{n_k})\) que me armé converge?
- Aca yo dí una sucesión de P (la an) que tiene que tender a un punto de P, eso basta? porque la cuestión es que toda sucesión convergente de P debe tener lím en P.
Help!
Gracias