Práctica 2 ejer 9

Sea K compacto y \(f:K\rightarrow\mathbb{R}\) continua tal que \(f(x)>0\forall x\in K\) Probar que existe \(a>0\) tal que \(f(x)>a\forall x\in K\)

Me pareció muy simple... debe haber algún error ¿¿??

Como f es continua y K un compacto, es f(K) compacto. Puesto que todo conjunto compacto tiene máximo y mínimo, sea \(y=min\{f(x):x\in K\}=min F(K)\) Es evidente que \(y\leq f(x)\forall x\in K\) Pero por hipótesis \(y>0\). Luego tenemos que, como el conjunto de reales es denso, existe un \(a\in\mathbb{R}\) con la propiedad \(0<a<y\) Con lo cual \(a\leq f(x)\forall x\in K\)

ta bien?

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Está bien, solo tenes unos detallecitos.

• Donde decis f(y) deberia ser y (porque y esta en la imagen, es el min de f)
• El a que vos tomas no es por densidad de los reales si no por otras propiedades, por ejemplo podrias tomar a=y/2

El resto bien.

Ya corregí lo de y Gracias!!

Otra: entendí lo de a=y/2 pero... por qué no puedo usar la densidad en este caso? ¿no es cierto que entre 0 y y debe haber algùn real?

Si es cierto, pero no se llama densidad...