Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) continua tal que \(f(x)=f(y), \forall x,y\in\mathbb{Q}\) Probar que f es constante.
¿Bien or not?
Puesto que ya sabemos que \(f(x)=f(y), \forall x,y\in\mathbb{Q}\), tomo \(z\in(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\) y quiero ver que \(f(z)=f(x)\) con x racional. Entonces, supongo que no, o sea que \(f(z)-f(x)=c\) con c distinto de cero.
En virtud de la continuidad de f, elijo un \(\epsilon<\vert c\vert\). Luego , existe \(\delta>0\) tal que \(\vert z-x\vert<\delta\Rightarrow\vert f(z)-f(x)\vert<\epsilon<\vert c\vert\) lo cual es absurdo pues dijimos que \(f(z)-f(x)=c\) Con lo cual f es constante
No es correcto, porque vos fijaste x y z y no sabes que se verifique que \(|z-x|<\delta\) y si cambias el z para que pase esto entonces tambien cambiarias el c.
Consejo:
considera una sucesion de racionales que converja a z
digo esto: elijo z en R-Q y digo, como f es continua en z ocurre que, eligiendo ese
\(\epsilon<\vert c\vert\) ocurre que existe un delta positivo tal que para los \(x\in (z-\delta,z+\delta)\) se tiene que \(\vert f(x)-f(z)\vert<\epsilon\)
Pero seguro que hay un \(x_o\in(z-\delta,z+\delta)\) racional, con lo cual \(\vert f(x_0)-f(z)\vert<\epsilon\) Lo que es absurdo.
Asi si? Es decir... el x que decía antes no se elige de antemano, sino que se elige en el intervalo que me armo. Esto siempre será posible pues entre dos reales siempre hay un racional.