Ejercicio no se cual de la pract 2

Hallar todos los subconjuntos propios de R que son a la vez abiertos y cerrados

¿¿¿¿????¿¿¿???

YO propongo el vacío. ¿Cómo hago para probarlo? O sea.. que es abierto y cerrado es fgacil... pero como veo que es el ñúnico que hay?

una pista
agarra un punto en la frontera (hay que ver que es no vacia si X es propio y no vacio).

Como es cerrado está en el conjunto, pero como es abierto hay una bola. Absurdo!!

Que ingenioso!

Muchas gracias..!!!

PEro a ver... me quedé pensando

La lógica es, tomo un elemento del supuesto conjunto X que quiero caractrerizar. Como llego a un absurdo, dicho conjunto es el vacío?

Ah claro, porque tomando un elemento de X se llega a una contradicción, luego no se puedne tomar elementos de X, o sea X es el vacío. Es asi nocierto?

Saludos !!

Sin tanta vuelta, si tomás un elemento de la frontera y llegás a un absurdo, entonces la frontera es vacía. Luego tenés que probar qué conjuntos tienen frontera vacía en \(\mathbb R\).

A ver si esta idea sirve

Tomamos un conjunto \(A\) que sea a cerrado y abierto. Supongamos que es distinto del vacío y también es distinto de \(\mathbb{R}\). Su complemento, \(B\), va a ser abierto, cerrado y distinto del vacío y de \(\mathbb{R}\).
Supongamos que \(0 \in A\) ( de no hacer así renombramos y llamamos a \(A\),\(B\) y a \(B\) lo llamamos \(A\))
Consideramos bolas de radio variable \(r>0\) con centro en el \(0\).
Consideremos el conjunto \(K\) de los radios de tales bolas que están plenamente contenidas en \(A\). Como \(A\) es abierto sabemos que existe un \(r'\) que cumple lo pedido, por lo tanto el conjunto\(K\) es no vacío. Como \(B\) por hipótesis es no vacío, existe un elemento de \(B\), digamos \(m\).
Cualquier bola de radio mayor a \(|m|\) va a intersecar \(B\) entonces este conjunto \(K\) esta acotado superiormente, como es no vacío tiene supremo, llamemosle \(s\)
Tenemos dos casos, que el supremo pertenzca al conjunto \(K\) o que no pertenezca

1. \(s \in K\) Acá sabemos que tanto \(s\) como \(-s\) están en \(A\).
   Como \(A\) es abierto, existen bolas centradas en \(s\) y \(-s\) (de radios \(r_1\) y \(r_2\) respectivamente
   que están contenidas en \(A\).
   Pero esto implicaría que la bola centrada en \(0\) de radio \(s+ min {r_1,r_2}\) estaría contenida en \(A\), lo que contradice la elección de\(s\) como supremo. Luego esto es absurdo
2. \(s\) no está en \(K\) Entonces al menos uno de los números \(s\) o \(-s\) pertenece a \(B\), sin perder generalidad suponemos \(s \in B\). Como \(B\) es abierto sabemos que existe una bola centrada en \(s\) contenida en \(B\), es decir hay puntos a la izquierda de \(s\) que están en \(B\), que claramente contradice nuestra elección del supremo

Por lo tanto concluimos que \(A\) debe ser el vacío o \(\mathbb{R}\)
Espero que se entienda y no sea demasiado rebuscado

Dejo otra demostración.

Sea \(A \subseteq \mathbb{R}\) abierto y cerrado.
Supongamos \(A \neq \mathbb{R}\) y \(A \neq \emptyset\).

A está acotado superior o inferiormente (pues si no \(A = \mathbb{R}\)).

Supongamos que está acotado superiormente.
Como \(A \neq \emptyset,\) tiene supremo.
Sea \(s=supA\). Por definición, existe \({({a}_{n})}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A\) tal que \(\lim_{n \rightarrow \infty} {a}_{n}=s\). Como \(A\) es cerrado, \(s \in A\).

Ahora, como \(A\) es abierto, existe \(\varepsilon>0\) tal que \((s-\varepsilon, s+\varepsilon) \subseteq A\).
\(s+\frac{\varepsilon}{2} \in (s-\varepsilon, s+\varepsilon)\), por lo tanto \(s+\frac{\varepsilon}{2} \in A\).
Pero \(s+\frac{\varepsilon}{2}>s=supA\).
Absurdo.

Luego \(A=\mathbb{R}\) ó \(A=\emptyset\)

(Si está acotado inferiormente, es análogo usando el ínfimo.)

Ups... No había pensado en eso 😳