Sea K un subconjunto de R compacto. Probar que los siguientes conjuntos son compactos:
$$S:=\{x+y: x,y\in K\}$$
$$P:=\{xy:x,y\in K\}$$
Tengo una duda...
Sea \((a_n)_n\subseteq S\) Es claro que para cada n : \(a_n=x_n+y_n\) donde \(x_n,y_n\in K\)
Como K es compacto, cualquier sucesión que tome en K tiene una subsucesión que converge a un punto de K. Sean entonces \((x_n)\subseteq K\) e \((y_n)\subseteq K\). Existen entonces dos subsucesiones \((x_{n_k})\rightarrow x\in K\) e \((y_{n_k})\rightarrow y\in K\)
Pero la sucesión \((x_{n_k})+(y_{n_k})\rightarrow x+y\) es una subsucesión de \((a_n)_n\subseteq S\) Y su límite \(x+y\in S\) Luego S es compacto
PAra P se hace lo mismo
Digo... ¿está bien este nivel de justificaciones? pues doy por supuesto que \((x_{n_k})+(y_{n_k})\) es una subsucesión. Creo que no es necesario probar esto.. pues es evidente que lo es, ¿o no?
Y si tomara dos subsucesiones \((x_{n_k})\) e \((y_{n_j}\)? A partir de ellas me armo una subsubsucesión así: \((x_{n_{k_1}+y_{n_{j_1}}},x_{n_{k_2}+y_{n_{j_2}}},...)\) O sea la subsubsucesión \((x_{n_{k_p}+y_{n_{j_p}}})\rightarrow x+y\) de \((a_n)\)
Tomo \((x_n)\subseteq K\) Luego \((x_n)\) tiene una subsucesi{on que converge a x en K pues K es compacto. Digamos \((x_{n_k})\rightarrow x\) (para k tendiendo a infinito)
Tomo ahora \((y_n)\subseteq K\) luego hay una subsucesi{on de esta que tiende a un punto de K por la misma raz{on que antes... \((y_{n_{k_j}})\rightarrow y\)
Pero entonces tomo una subsucesión de \((x_{n_k})\) y cualquiera de ellas tenderá a x: \((x_{n_{k_j}})\rightarrow x\)
Listo!! Entonces, cualquier sucesión de S tiene una subsucesión que convergea un punto de S, asi que es compacto
Bien!
Arreglaste el problema que tenias antes, pero introdujiste uno nuevo, la demostracion deberia empezar tomando una sucesion en S y despues lo que vos decis.