Ejercicio 11 práctica 2 del 2do cuatri 2009

Sea K un subconjunto compacto de R. Probar que tiene máx y min.

¿Está bien?

Voy a probar que tiene máximo.
Por hipotesis K es cerrado y acotado. Por esto útimo tiene supremo. Luego debo ver que \(supK\in K\) Sea entonces \(s=supK\) tengo entonces que (por definición de supremo) \(\forall \epsilon>0 \exists k_{\epsilon}\in K\) tal que \(s-\epsilon<k_{\epsilon}\)

Voy a armarme una sucesión de elementos de K con límite s. Si esto es posible, ya habré probado que s está en K, pues como es cerrado, toda sucesión de elementos de K convergente tiene límite en K.

Vamos...

Sea \(\epsilon_1>0\) Por def de supremo, existe \(k_1\in K\) tal que \(s-\epsilon_1<k_1\)

Tomo \(\epsilon_2\) tal que \(s-\epsilon_2=\frac{s+k_1}{2}\) Es claro que \(\epsilon_2>0\) porque: \(\epsilon_2=s-\frac{s+k_1}{2}=\frac{s-k_1}{2}>0\) pues s es el supremo de K. Con lo cual \(\exists k_2\in K\) tal que \(s-\epsilon_2<k_2\)

Tomo \(\epsilon_3\) tal que \(s-\epsilon_2=\frac{s+k_1}{2}\) Es claro que \(\epsilon_3>0\) . Luego \(\exists k_3\in K\) tal que \(s-\epsilon_3<k_3\)

Y asñi siguiendo...

Bueno, me armé una sucesión \((k_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq K\). Tal sucesión está acotada pues K lo está. Además es creciente pues \(k_2=s-\epsilon_2=\frac{s+k_1}{2}\Rightarrow k_2>\frac{s+k_1}{2}\) pero \(s\geq k_1\) por ser el supremo de K, con lo cual: \(k_2>\frac{k_1+k_1}{2}=k_1\) Análogo para \(k_i>k_{i-1}\). Luego tal sucesión converge. (es acotada y monótona)

VEamos que \((k_n)_n\rightarrow s\) Debo ver que dado \(\epsilon>0 \exists n_0\in\mathbb{N}\) tal que \(n\geq n_0\Rightarrow \vert k_n-s\vert <\epsilon\)

Yo tengo que \(s-k_i<\epsilon_i\) para cada \(i\in\mathbb{N}\) o sea \(s-k_i<\epsilon_i\Rightarrow \vert s-k_i\vert<\epsilon_i\) pues \(s-k_i>0\) Veamos entonces que la sucesión \((\epsilon_n)_n\rightarrow 0\) Si esto es así, habré probado entonces que \((k_n)_n\rightarrow s\) como quería.

\(\epsilon_2=\frac{s-k_1}{2}<\frac{\epsilon_1}{2}\) y además \(s-k_2<\epsilon_2\)

Así siguiendo se deduce que \(\epsilon_n<\frac{\epsilon_1}{2^{n-1}}\rightarrow 0\Rightarrow (\epsilon_n)\rightarrow 0\)FIN

Si ya probaste que \(f:K\rightarrow \mathbb{R}\) alcanza máximos y mínimos absolutos si \(K\) compacto y \(f\) continua, el ejercicio es un corolario de esto.
La función \(f:K\rightarrow \mathbb{R},f(x)\eq=x\) es continua

Una cosa; en algún lugar(en la recurrencia para n=3) tenés subíndices que deberían ser 3,2 si no me equivoco.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Si, pero se supone que a esa altura no lo habíamos probado 🙁

Jajaj!!!

Capaz te conviene:

Como K es compacto es acotado, si lo suponemos no vacío, se sigue que existen el infimo y supremo. Vayamos con el supremo, con el infimo es igual; por propiedades del supremo existe un sucesion contenida en K que converge al supremo; como K es compacto esta sucesión tiene un subsucesion que converge a un punto de K; pero la sucesion original era convergente al supremo entonces la subsucesion tiene que converger al mismo limite, ergo el supremo pertenece a K y por lo tanto es máximo.

Es exactamente la misma idea, pero me parecio más resumido.

Saludos