- Sea \((a_n)\) una sucesión de números no negativos tal que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\) es una serie convergente.
Probar que \(\underline{lim}\ a_n=0\)
Supongamos que \(\underline{lim}\ a_n=s > 0\). Entonces hay finitos \(n\) tales que \(\forall \varepsilon > 0\) se tiene que \(a_n < s - \varepsilon\).
Entonces, si elegimos \(\varepsilon=\frac{s}{2}\) sabemos que existe \(n_0\) tal que, si \(n > n_0\) entonces \(a_n \geq \frac{s}{2}\).
Ahora podemos acotar.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}=\sum_{i=1}^{n_0} \frac{a_i}{i}+\sum_{j=n_0+1}^{\infty} \frac{a_j}{j}\geq\sum_{i=1}^{n_0} \frac{a_i}{i}+\sum_{j=n_0+1}^{\infty} \frac{\frac{s}{2}}{j}=\sum_{i=1}^{n_0} \frac{a_i}{i}+\frac{s}{2}\sum_{j=n_0+1}^{\infty} \frac{1}{j}$$
Podemos ver que nos queda una suma finita y una suma que diverge. Entonces encontramos una serie que es menor que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\) y que diverge. Así que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\) diverge. Absurdo!
Entonces \(\underline{lim}\ a_n\leq0\) Como \(a_n\geq0\) para todo n, \(\underline{lim}\ a_n\geq0\). Por lo tanto \(\underline{lim}\ a_n=0\)
En el parcial habría que justificar un poquito mejor, pero ésa es la idea general.
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