[No resuelto] 26/11/15 prefinal ej. 3 ii)

Bueno, posteo este por último, el que me falta hacer del prefinal que tomaron la semana pasada.
Si a alguien se le ocurre algo se agradece mucho. Mañana rindo a las 14 y estoy con un poco de miedo.

Sea \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) una función, definimos el gráfico de \(f\) , \(G_f=\{(x,f(x)) : x\in\mathbb{R}\}\)
ii) Probar que si \(f\) es acotada, \(G_f\) cerrado implica \(f\) continua.

Logré probar el i) que pedía mostrar que \(f\) continua implica \(G_f\) cerrado.

Creo que la idea debe ser tomar una sucesión convergente \((x_n,f(x_n))\rightarrow(x,y)\) donde \((x,y)\in G_f\) porque \(G_f\) es cerrado. Y bueno, como \(f\) es acotada y está en \(\mathbb{R}\) todas las subsucesiones convergentes de \(f\) convergen a \(y\) (es un resultado anterior del parcial). De acá no sé para donde seguir. La idea sería poder probar que \(y=f(x)\) que implicaría que \(f\) sea continua.
En fin, si se les ocurre algo chiflen

\(y=f(x)\) es trivial por la definición del gráfico

Pero qué me garantiza que la sucesión \(f(x_n)\rightarrow f(x)\) ? Donde uso que \(f\) es acotada?
Me parece que no le veo

Lo unico que dije es que si ya probaste que \(f(x_n)\to y\) y \((x, y)\in G_f\) entonces \(f(x) = y\) trivialmente.

El ejercicio sale si usas el truco:
Una sucesión es convergente si y solo si toda subsucesión tiene una subsucesión convergente.