Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua tal que \(f(0)=0\) y \(f(1)=1\). Definimos \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) según la fórmula \(g(x)=[x]+f(x-[x])\) donde \([x]\) es la parte entera de \(x\). Probar que \(g\) es uniformemente continua.
Este es un ejercicio del prefinal asesino de la semana pasada. Es el punto que me pareció más difícil. Sé que \(f\) es uniformemente continua, seguro tengo que usar eso. Pero no sé bien por donde encararlo.
Si alguien tiene una idea, o tip se agradece, el recuperatorio es pasado mañana 🙁
Yo lo probaría por definición, separando en casos según la parte entera de x e y es la misma o no (a lo sumo puede diferir en uno si x e y están suficientemente cerca). Pero no estoy seguro que salga así.
Se prueba por definición como dijo Quimey. La parte de que x e y son enteros sale fácil, la parte en la que no son restringís su distancia en el delta y sale usando los valores de f que te dan en la definición.
Fijate si te sale y si no te explico en detalle como hacerlo. Lo difícil es ingeniártelas en el momento para acotar la parte en que x e y no son enteros...
Gracias!
Me parece que me salió. Plantee dos sucesiones \(x_n\) e \(y_n\) tales que \(|x_n - y_n|\rightarrow0\) y consideré por separado el caso en el que ambas sucesiones tendían a un entero y los casos en los que no para acotar la parte entera.
Creo que está bien.
Gracias de nuevo por las respuestas y saludos!