Ayuda ejercicio parcial! Conjuntos!

Hola, queria saber si a alguien se le ocurris como probar la siguiente implicacion:

Sean A,B C R conjuntos. Se tiene que A compacto y B cerrado, probar que A+B es cerrado.

Hola. Lo que yo hice fue
Tomo una sucesión convergente de \(A+B\), que es de la pinta \(a_n+b_n\) con \(a_n\subset A\) y \(b_n\subset B\) y quiero ver que converge a un elemento de \(A+B\)
Si \(\lim\ a_n+b_n = c\). Entonces, como \(A\) es compacto, existe \(a_{n_j}\rightarrow a\) una subsucesión convergente que converge a \(a\). Si considero ahora la subsucesión \(a_{n_j} + b_{n_j}\) sabemos que \(\lim\ a_{n_j}+b_{n_j}=c\) y como \(\lim a_{n_j} = a\) tenemos que \(\lim\ a_{n_j} + b_{n_j}= a + \lim\ b_{n_j} = c\). Por lo que \(\lim\ b_{n_j} = c-a\), es decir, que \(b_{n_j}\) es una sucesión convergente y además \(b_{n_j}\subset b_n\subset B\) y \(B\) es cerrado así que la sucesión \(b_{n_j}\) converge a un \(b\in B\).
Bueno, lo que tenemos entonces es que \(\lim\ a_{n_j}+b{n_j}= a + b\) con \(a\in A\) y \(b\in B\), así que \(a+b\in A+B\). Como la suma es una función continua \(\lim\ a_n+b_n = \lim\ a_{n_j} + b_{n_j} = a + b\) así que \(a_{n_j} + b_{n_j}\) converge a un elemento de \(A+B\)
Creo que está bien, me pareció parecido a un ejercicio que mandaron para entregar. Pero PUEDE FALLAR.
Saludos!