a) Sean \(K \supset F_1 \supset F_2 \supset ... \supset F_n \supset ...\) con \(F_n\) cerrado \(\forall n \in \mathbb{N}\) y \(K\) compacto, se tiene una de las dos: o bien \(\exists n_0 / F_{n_0} = \emptyset\) o bien \(\bigcap_{n} F_n \neq \emptyset\)
b) Si \(f_n \nearrow f\ \forall x \in K\) compacto. \(f_n, f : K \longrightarrow \mathbb{R}\) continuas. Entonces \(f_n \rightrightarrows f\) en \(K\) (Sug.: mirar los conjuntos \(F_n = \{ x \in K / \left | f(x) - f_n(x) \right | \geq \epsilon \}\))
Ejercicio 2.
Sea \(\alpha \in VA[0,1]\). Probar que \(f_n(x) = \left ( \frac{x}{2} \right )^n \in \mathcal{R} (\alpha)\) y que \(\int_{0}^{1} f_n\ d\alpha \rightarrow 0.\)
Ejercicio 3.
Sea \(x_0 = \frac{1}{2}\) y \(x_n = \sqrt{\frac{x_{n-1}^4 + 1}{2}}\). Probar que \((x_n)_{n\in\mathbb{N}\) converge y hallar su limite.
Ejercicio 4.
Sea S \(\subset \mathbb{R}\) acotado. Llamamos diámetro de \(S\) a:
diam\((S) = sup \{ \left | x - y \right | : x, y \in S \}\). Probar que diam\((S) =\) diam\(( \bar{S})\)
Para ver que converge probé que era monótona y acotada. Ambas por inducción bastante simple. Estaba acotada por 1.
EDITO EL ERROR:
Para probar que tiende a 1:
Si \(x_n \rightarrow l\) entonces por algebra de límites \(l = \sqrt{\frac{l^4 + 1}{2}}\). De ahí despejando se podía deducir que \(l = 1\)
Como \(S \subseteq \bar{S}\) entonces si \(a = diam(S) \leq diam(\bar{S}) = b\).
Me basta con ver que no pasa que \(a<b\). Supongo que si, y tomo \(\epsilon > 0\) tal que \(a<b-\epsilon<b\).
Como \(b\) es diametro (un supremo), \(\exists x_0\ e\ y_0 \subseteq \bar{S}\) tales que \(\left | x_0 - y_0 \right | > b - \epsilon > a\).
Además, como están en \(\bar{S}\), existen \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ambas en \(S\) tales que \(x_n \rightarrow x_0\) e \(y_n \rightarrow y_0\)
Ahora, \(\exists n_0 \in \mathbb{N} / n\geq n_0\) implica \(| | x_n - y_n | - | x_0 - y_0 | | < | x_0 - y_0 | - a\) pues \(| x_n - y_n | \rightarrow | x_0 - y_0 |\). Abriendo el módulo queda \(|x_n - y_n| > a\ \forall n \geq n_0\) Abs!
Estos los hice en una hora mas o menos. Después estuve como dos horas pensando el primero pero no me salió. La parte a) no terminaba de entender exactamente que tenía que probar. En la b) estaba 90% seguro de que debía usar la a) pero no se me ocurria como probar que los \(F_n\) eran cerrados. Después estaba podrido y con la parte de integrales nunca nos llevamos bien asique entregué.
Mi vida necesita que este parcial esté aprobado.
a)
Pueden pasar dos cosas, que \(\exists n_0 / F_{n_0} = \emptyset\) o bien \(F_n \neq \emptyset\ \forall n \in \mathbb{N}\)
Debo probar que si no pasa que \(\exists n_0 / F_{n_0} = \emptyset\) entonces pasa que \(\bigcap_{n} F_n \neq \emptyset\)
Supongo no pasa la primera de las dos, entonces, como \(F_n \neq \emptyset\ \forall n \in \mathbb{N}\) me puedo armar una suceción \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) tal que \(x_n \in F_n \forall n \in \mathbb{N}.\)
Como \((x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset\ K\) compacto, existe una subsucesión \((x_{n_j})_{j \in \mathbb{N}}\) convergente a un punto \(x_0\) de \(K.\) Este \(x_0\) pertenece a la intersección de todos los \(F_n\) pues dado \(F_{n_0}\), \(x_{n_j} \in F_{n_0} \forall n_j \geq n_0\). Como \(F_{n_0}\) es cerrado y \(x_{n_j} \rightarrow x_0\) entonces \(x_0 \in F_{n_0}.\) Luego, \(x_0 \in \bigcap_{n} F_n.\)
b)
Miro los \(F_n\) de la sugerencia;
Como \(f_n \nearrow f\) si \(x \in F_{n+1} \Rightarrow \epsilon \leq f - f_{n+1} \leq f - f_n\) lo que implica que \(F_{n+1} \subset F_n\)
Además los \(F_n\) son cerrados, pues fijado n, \(f - f_n = g\) es una función continua. Sea \((x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F_n\) tal que \(x_n \rightarrow x.\) Quiero ver que \(x \in F_n.\) Ahora, \(g(x_n) \geq \epsilon\ \forall n\) pues \((x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F_n.\) Como \(g\) es continua, si tomo límite, \(g(x) \geq \epsilon.\) Luego, \(x \in F_n\)
*Por último, como \(F_n \subset K\) compacto, se cumplen las hipótesis del ítem anterior.
Ahora, supongo que \(f_n\) no converge uniformemente a \(f\), esto es, \(\exists \epsilon > 0 / \forall n_0, \exists x \in K, \exists n \geq n_0\ tq\ f - f_n \geq \epsilon\) Entonces, por a) debe suceder que \(\bigcap_{n} F_n \neq \emptyset\) lo que contradice que \(f_n \nearrow f\)
Sobre el 2
Notar que las \(f_n\) son todas continuas en \([0,1]\), así que se integran contra cualquier función de variación acotada. Además \(f_n \rightrightarrows 0\), porque \(|f_n(x)| \leq 1 / 2^n \rightarrow 0\), y eso implica que las integrales también tienden a \(0\).