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Tema

[Resuelto?] Parcial 6/8/2010

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#1 Nami
$$1\) $ Sea $ \{a_n\} \in \mathbb{R} $ y sea $ b_n = {a_n}^4 + 3 {a_n}^2 $ convergente. Probar que $ \overline{lim} a_n $ y $ \underline{lim} a_n $ son finitos y que \vert \overline{lim} a_n \vert = \vert \underline{lim} a_n \vert$$
\($Veamos que \overline{lim} a_n $ $ es finito\)
$$$Supongamos que no:$$
$$\Rightarrow \{$puntos limite de a_n\} $ $ no esta acotado superiormente$$
$$\Rightarrow \{$puntos limite de {a_n}^2 \} $ $ no esta acotado superiormente$$
$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } {a_n}^2 = \infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} {a_n}^2 \cdot \({a_n}^2 +3 \) = b_n $ Absurdo pues b_n converge$$
$$\Rightarrow $\overline{lim} a_n es finito$$
$$$Veamos ahora que {a_n}^2 converge$$
$$$Supongamos que no, supongamos que {a_n}^2 $ $posee mas de un punto de acumulacion$$
$$\Rightarrow \{{a_n}^4\} $ posee mas de un punto de acumulacion$$
$$\Rightarrow \{{a_n}^2 +3\} $posee mas de un punto de acumulacion$$
$$\Rightarrow $Sea {a_k}^2 $ $ punto de acumulacion de {a_n}^2$$
$$\Rightarrow \forall \delta >0 \exists n_0 $ tq si n_0 \leq n \Rightarrow \vert {a_n}^4 - {a_k}^4 \vert < \delta$$
$$\Rightarrow \forall \delta >0 \exists \overline{n_0} $ tq si \overline{n_0} \leq n \Rightarrow \vert 3\cdot {a_n}^2 - 3\cdot {a_k}^2 \vert < \delta$$
$$$Sea N_0 = max \{n_0; \overline{n_0} \} \Rightarrow \delta > \vert 3\cdot {a_n}^2 - 3\cdot {a_k}^2 \vert + \vert {a_n}^4 - {a_k}^4 \vert > \vert \({a_n}^4 + 3 \cdot {a_n}^2\) - \({a_k}^4 + 3 \cdot {a_k}^2 \)$$
$$\Rightarrow b_n $ posee tantos puntos de acumulacion como a_n $ $ Absurdo! pues b_n converge$$
$$\Rightarrow {a_n}^2 $posee un unico punto de acumulacion \Rightarrow {a_n}^2 $ $ converge$$
$$\{$puntos de acumulacion de {a_n}^2 \}=\{{x_0}^2\}$$
$$\Rightarrow \{$puntos de acumulacion de a_n\} \subset \{-x_0 ; x_0\}$$
$$$Pues si existiera \overline{x_0} \neq x_0, -x_0 \Rightarrow \overline{{x_0}^2} $ $seria punto de acumulacion de a_n, $ $ distinto de x_0 $ $Absurdo!$$
$$$Luego \underline{lim} a_n = x_0 $ $ o \underline{lim} a_n = -x_0 $ $ y \underline{lim} a_n = x_0 $ o $ \underline{lim} a_n = -x_0$$
\(\Rightarrow \vert \overline{lim} a_n \vert = \vert \underline{lim} a_n \vert\)
$$2\) $ Sea U \subset \mathbb{R}^n $ $ abierto y sea F \subset \mathbb{R}^n $ $ cerrado tal que \overline{U} = F$$
$$a\) $ Sea S \subset \mathbb{R}^n $ $ arbitrario tal que \overline{S}=F $ $. Probar que \overline{U \cap S} = F$$
\(\subseteq \) \overline{U\cap S} \subseteq \overline{U} \cap \overline{S} = F \cap F = F \( $por el ejercicio 4 f de la practica 2 \)\)
$$\supseteq \) $ Quiero ver que \overline{U} \cap \overline{S} \subseteq \overline{U \cap S}$$
$$$ Primero veamos que U = F^{\circ}:$$
$$$ Como \overline{U} = F $ $ y F^{\circ}= F - Fr\(F\)$$
$$\Rightarrow Fr\(U\) = Fr\(F\)$$
$$\Rightarrow F^{\circ}= F - Fr\(F\) = F - Fr\(U\) = \(U \cup Fr\(U\) \) - Fr\(U\) = U$$
$$$ Sea x \in \overline{U} \cap \overline{S} \Rightarrow x \in \overline{S}$$
$$\Rightarrow x \in Fr\(S\) $ o $ x \in S-Fr\(S\) \subset S$$
$$\star \) $ Si x $ \in S-Fr\(S\) \subseteq F^{\circ} = U \Rightarrow x \in U \Rightarrow x \in S\cap U \Rightarrow x \in \overline{S \cap U}$$
$$\star \) $ Si x $ \in Fr\(S\) \Rightarrow \exists \{x_n\} \subset S-Fr\(S\) $ tal que $ x_n \rightarrow x$$
$$\{x_n\} \subset S-Fr\(S\) \subseteq F^{\circ} = U \Rightarrow \{x_n\} \subset S \cap U$$
$$\Rightarrow $ x es punto de acumulacion de $ S \cap U \Rightarrow x \in \overline{S\capU}$$

\(\Rightarrow \overline{U \cap S} = \overline{U} \cap \overline{S}\)

$$b\)$ Es cierto lo demostrado en \(a\) si U no es abierto?$$
\($ NO. Sea U= \(0;1\) \cap \mathbb{Q} \Rightarrow \overline{U} = [0;1]\)
$$$ Sea S= \(0;1\) \cap \(\mathbb{R} - \mathbb{Q}\) \Rightarrow \overline{S} = [0;1]$$
\($ Pero S \cap U = \emptyset \neq [0;1]\)
$$3\) $ Sea $ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n $ suryectiva que cumple que, con $ k>1:$$
$$\vert \vert f\(x\) - f\(y\) \vert \vert > k \vert \vert x - y \vert \vert $ $ \forall x,y \in \mathbb{R}^n , x\neq y$$
$$a\) $ Demostrar que f es biyectiva y que $ f^{-1} $ es uniformemente continua$$
\($ f es suryectiva, quiero ver que f es inyectiva es decir que si $ f\(x\)=f\(y\) \Rightarrow x=y\)
$$$ Supongamos que f no es inyectiva. Sea $ x\neq y $ tal que $ f\(x\)=f\(y\)$$
$$\Rightarrow 0=\vert \vert f\(x\) - f\(y\) \vert \vert > k \vert \vert x-y \vert \vert >0 \forall x \neq y $ Absurdo! pues $ k \vert \vert x-y \vert \vert $ no puede ser mayor y menor a 0 al mismo tiempo$$
$$\Rightarrow x=y \Rightarrow $ f es inyectiva$$
$$$ Quiero ver que $ f^{-1} $ es uniformemente continua. Veamos primero que es Lipschitz:$$
$$\Rightarrow \vert \vert f\(x\) - f\(y\) \vert \vert > k \vert \vert x - y \vert \vert$$
$$\Rightarrow \vert \vert x - y \vert \vert = \vert \vert f^{-1} \(f\(x\)\) - f^{-1} \(f\(y\)\) \vert \vert$$
$$\Rightarrow \vert \vert f\(x\) - f\(y\) \vert \vert > k \vert \vert f^{-1} \(f\(x\)\) - f^{-1} \(f\(y\)\) \vert \vert$$
$$$ Sea $ v= f\(x\) $ y $ w= f\(y\) \Rightarrow v,w \in Im\(f\)$$
$$\Rightarrow \vert \vert w-v \vert \vert > k \vert \vert f^{-1} \(w\) - f^{-1} \(v\) \vert \vert$$
\(\Rightarrow f^{-1} $ es Lipschitz $ \Rightarrow f^{-1} $ es uniformemente continua.\)
$$b\) $ Se puede decir que $ f^{-1} $ posee un punto fijo?$$
\($ Si. Por el ejercicio 16 de la practica 3:\)
$$$ Si S es cerrado, $ S \subset \mathbb{R}^n , f: S\rightarrow \mathbb{R}^n $ Lipschitz menor a uno tal que $ f\(S\) \subset S \Rightarrow \exists y \in \mathbb{R}^n $ tal que $ f\(y\)=y$$
\($ Tomando $ S= \mathbb{R}^n \f^{-1} $ es Lipschitz menor a uno $ \Rightarrow f^{-1} $ posee un punto fijo\)
$$4\) $ Sea $ a \in \mathbb{R} , a\neq 1$. Probar que $ \sum_{1}^{\infty} \(\sqrt[n]{a}-1\) $ diverge$$
$$5\) $ Sean $ f,\alpha: [2;3] \rightarrow \mathbb{R}, $ $ f\(x\)=[x], $ $ \alpha\(x\)=[x^2] $. Probar que: $ f \in R\(\alpha\)$$
\($ Por el teorema de integracion por partes: $ f \in R\(\alpha\) \Longleftrightarrow \alpha \in R\(f\)\)
$$$ Estudiemos entonces si $ \alpha \in R\(f\)$$
$$\Rightarrow \alpha \in R\(f\) $ si $ \exists A \in \mathbb{R} $ tal que $ \forall \varepsilon >0 \exists \pi _\epsilon $ tal que si $ \pi \supset \pi _\epsilon \Rightarrow \vert S_{\pi _{\alpha,f}} - A \vert < \epsilon$$
$$$Sea $\pi $particion de $ \[2;3\] $ tal que $ \pi =\{2=x_0 , x_1 , ..... x_n=3\}, \vert \vert \pi \vert \vert < \frac{1}{10}$$
$$\Rightarrow S_{\pi _{\alpha,f}} = \sum_{1}^{n} \[t_k^2] \([x_k]-[x_{k-1}] \) = [t_n^2](2-3) \bullet$$
$$Como \vert \vert \pi \vert \vert < \frac{1}{10} \Rightarrow [t_n^2]=9 $ si $ t_n = x_n $ y $ [t_n^2]=8 $ si $ t_n < x_n$$
$$\bullet = -9 $ si $ t_n = x_n$$
$$\bullet = -8 $ si $ t_n < x_n$$
\(\Rightarrow \alpha \notin R\(f\) \Rightarrow f \notin R\(\alpha\)\)
Firma

20080618-O0xBO9009037-02.jpg

$${\large \boldsymbol {{N\!ami}}}\hspace{0.07cm}^{\bigstar}$$

Editado 1 vez.

#2 Sofía

No entiendo esta implicación:

(Como \(\overline{U}=F\) y \(F ^{\circ} = F - \partial F\)) \(\Rightarrow\) \(\partial U= \partial F\)

De hecho creo que es mentira, si te tomás \(U=(1,2) \cup (2,3)\) queda

$$F=[1,3]$$
$$\partial F = \lbrace 1,3 \rbrace$$
\(\partial U = \lbrace 1,2,3 \rbrace\)
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
#3 Nami
$$$ Mira lo que yo dije fue:$$

\($ Si $ F = \overline{U} \Rightarrow $ si x $ \in \partial F, \exists $ $ x_n \in F^{\circ} $ tal que $ x_n \rightarrow x $ y $ \exists y_n \in F^{c} $ tal que $ y_n \rightarrow x\)

$$\Rightarrow \{x_n\} \in \overline{U}^{\circ} = U $ y $ \{y_n\} \in \overline{U}^{c} \Rightarrow x \in \partial U$$
\($ Igual me parece que me comi la otra contencion\)
#4 Sofía

Dejo mis resoluciones.

\(1. \, $Sea\) \({({a}_{n})}_{n \in \mathbb{N}}\) \($una sucesi\'on de n\'umeros reales tales que la sucesi\'on\) \({b}_{n}={a}_{n}^4+3{a}_{n}^2\) \($es convergente. Probar que\) \(\overline{lim}\,{a}_{n}\) \($y\) \(\underline{lim}\,{a}_{n}\) \($son finitos y que\) \(|\overline{lim}\,{a}_{n}|=|\underline{lim}\,{a}_{n}|.\)

\(1)\) \($ Supongamos que\) \(\overline{lim} \, {a}_{n}\) \($ es\) \(+\infty\)
\($ Existe una subsucesi\'on\) \({({a}_{{n}_{j}})}_{j \in \mathbb{N}}\) \($ tal que\) \({a}_{{n}_{j}} \longrightarrow + \infty.\) \($Miro la subsucesi\'on\) \({({b}_{{n}_{j}})}_{j \in \mathbb{N}}.\)

$${b}_{{n}_{j}}={a}_{{n}_{j}}^4+3{b}_{{n}_{j}}^2 \longrightarrow +\infty$$
\($Absurdo pues\) \({({b}_{n})}_{n \in \mathbb{N}}\) \($converge.\) \($An\'alogamenete si\) \(\overline {lim} \, {a}_{n} = - \infty\) \($y con\) \(\underline {lim} \, {a}_{n},\) \($llego al mismo absurdo.\) \($Sean\) \(L=lim \, {b}_{n},\) \(s= \overline {lim} \, {a}_{n},\) \(i = \underline {lim} \, {a}_{n}.\) \($*Existe una subsucesi\'on\) \({({a}_{{n}_{j}})}_{j \in \mathbb{N}}\) \($tal que\) \({a}_{{n}_{j}} \longrightarrow s\). \($Miro\) \({b}_{{n}_{j}}\).
$$L=lim \, {b}_{{n}_{j}} = lim \, {a}_{{n}_{j}}^4+3{a}_{{n}_{j}}^2=s^4+3s^2$$
\($*Existe una subsucesi\'on\) \({({a}_{{n}_{j}})}_{j \in \mathbb{N}}\) \($tal que\) \({a}_{{n}_{j}} \longrightarrow i.\) \($Miro\) \({b}_{{n}_{j}}.\)
$$L=lim \, {b}_{{n}_{j}} = lim \, {a}_{{n}_{j}}^4+3{a}_{{n}_{j}}^2=i^4+3i^2$$
\($Se sigue que\) \(s^4+3s^2=i^4+3i^2 \Longleftrightarrow\) \(s^4-i^4= 3i^2-3s^2 \Longleftrightarrow\) \((s^2+i^2)(s^2-i^2)=-3(s^2-i^2).\) \($Si\) \(s^2-i^2 \neq 0,\) \($dividido y queda\) \(0 \leq s^2+i^2=-3<0.\) \($Absurdo.\) \($Luego\) \(s^2=i^2.\) \($Luego\) \(|s|=|i|\)

\(3. \, $Sea\) \(f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n\) \($una funci\'on sobreyectiva tal que existe\) \(k>1\) \($con la propiedad:\)
\(\|f(x)-f(y)\|>k\|x-y\| \,\,\,\,\,\,\) \($para todo\) \(x,y \in \mathbb{R}^n, \,x \neq y.\)

\((a) \, $Demostrar que\) \(f\) \($resulta biyectiva y que\) \(f^{-1}\) \($es uniformemente continua.\)

\($Veamos que\) \(f\) \($es inyectiva:\)
\($Sean x,y \in \mathbb{R}^n\) \($tal $que\) \(f(x)=f(y).\)
\($Supongamos x \neq y.\) \($Se tiene que 0=\|f(x)-f(y)\|> k \|x-y\|>0\) \($Absurdo.\)
\($Luego x=y\). \($Luego\) \(f\) \($es inyectiva.\)

$$$Como ademas es sobreyectiva, es biyectiva.$$
$$***$$
\($Sean\) \(x,y \in \mathbb{R}^n,\)\(x \neq y.\) \(f\) \($biyectiva\) \(\Rightarrow\) \(\exists ! \, x', y' \in \mathbb{R}^n\) \($tal que\) \(x=f(x'),\) \(y=f(y').\) \($Miro la desigualdad usando que\) \((f^{-1} \circ f)(z)=z \, \, \forall \, z \in \mathbb{R}^n\). \(\| f(x')-f(y') \| > k \|f^{-1}(f(x'))-f^{-1}(f(y'))\| \Longleftrightarrow\) \(\|f^{-1}(f(x'))-f^{-1}(f(y'))\| < \frac{1}{k} \| f(x')-f(y') \|.\) \(($pues\) \(k>0)\) \($Reemplazando\) \(x\) \($e\) \(y,\) \(\|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\| < \frac{1}{k} \| x-y \|.\) \($Para considerar el caso\) \(x=y\) \($escribo\) \(\|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\| \leq \frac{1}{k} \| x-y \|.\) \($Luego\) \(f^{-1}\) \($es Lipchitz con constante\) \(\frac{1}{k}\). \($Luego\) \(f^{-1}\) \($es uniformemente continua.\)

\((b) \, $\¿Puede asegurar que\) \(f^{-1}\) \($tiene un punto fijo?\) \($Haga una demostraci\'on o d\'e un contraejemplo.\)

\($Ejercicio 16 de la practica 3:\)
\($Si\) \(g:S \subseteq \mathbb{R}^n, S\) \($cerrado,\) \(g(S) \subseteq S\) \($y existe\) \(M \in (0,1)\) \($tal que\) \(\|g(x)-g(y)\| \leq M \|x-y\| \, \forall \, x,y \in S\) \($entonces\) \(g\) \($tiene un punto fijo.\)
\($En este caso en particular,\) \(f^{-1}:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\) \($es cerrado,\) \(f^{-1}(\mathbb{R}^n) \subseteq \mathbb{R}^n\) \($y vale\) \(\|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\| \leq \frac{1}{k} \| x-y \| \,\, \forall \, x,y \in \mathbb{R}^n,\, \, \frac{1}{k}<1\) \(($pues\) \(k>1).\)
\($Se verifican las hip\'otesis del teorema, entonces\) \(f^{-1}\) \($tiene un punto fijo.\)

\(4. \, $Sea\) \(a \in \mathbb{R}\) \($positivo y distinto de 1. Probar que la serie\) \(\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a}-1)\) \($diverge.\)

\($Sea\) \({a}_{n}= \sqrt[n]{a}-1.\)
\(*$Si\) \(0<a<1:\) \({a}_{n}\) \($es siempre negativa. Cosidero la sucesi\'on\) \({-a}_{n}\) \($para\)

$$$poder usar criterios de convergencia de series de t\'erminos no negativos.$$
\($Obs:\) \(\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}\) \($converge\) \(\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} {-a}_{n}\) \($converge.\) \($Comparo por l\'imite con\) \(\frac{1}{n}.\) \($Sean\) \(f(x)= \frac{1}{x}, \,\, g(x)=1-a^{\frac{1}{x}}\) \($Calculo\) \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}.\) \($Es una indeterminaci\'on del tipo\) \("\frac{0}{0}"\)
$$$Usando la regla de L'Hopital$$
\(\frac{f'(x)}{g'(x)}=\)\(\frac{-x^{-2}}{-\ln(a)e^{\frac{1}{x}\ln(a)}(-1)x^{-2}}=\)\(-\frac{1}{\ln(a)e^{\frac{1}{x}\ln(a)}} \xrightarrow[x\rightarrow\infty] \, -\frac{1}{\ln(a)}.\) \($Luego\) \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1-a^{\frac{1}{n}}}=\)\(-\frac{1}{\ln(a)} \neq 0.\) \($Luego, como\) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) \($diverge,\) \(\sum_{n=1}^{\infty}{-a}_{n}\) \($diverge, y tambi\'en lo hace\) \(\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}.\)

\(*$Si\) \(a>1:\) \({a}_{n}\) \($es siempre positiva. Por comparaci\'on por l\'imite con\) \(\frac{1}{n}\) \($llego a que\) \(\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}\) \($diverge.\) \(($Mismas cuentas que reci\'en salvo un signo)\)

\(5.\, $Sean\) \(f,\alpha:[2,3]\longrightarrow\mathbb{R}\) \($las funciones\) \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) \($y\) \(\alpha(x)=\lfloor x^2\rfloor.\) \($Estudiar si\) \(f \in \Re (\alpha).\)
\([$Recordar que\) \(\lfloor x\rfloor:= \max \lbrace m \in \mathbb{Z}, m \leq x \rbrace.]\)

\($Estudiemos si\) \(\alpha \in \Re (f)\)
\($Obs:\) \(f\) \($es constante en\) \([2,3)\)
\($Sea\) \(\Pi=\lbrace 2={x}_{0},{x}_{1},...,{x}_{n-1},{x}_{n}=3\rbrace\) \($una partici\'on de [2,3]\)

$$$Miro la suma de Rieman-Stieltjes.$$
\({S}_{\Pi}= \sum_{k=1}^{n}\alpha ({t}_{k})(f({x}_{k})-f({x}_{k-1}))=\) \(\alpha ({t}_{n})(f(3)-f({x}_{n-1}))= \alpha({t}_{n}).\) \($con\) \({t}_{k} \in [{x}_{k-1},{x}_{k}]\) \($Ac\'a se puede ver que\) \(\alpha\) \($no es integrable respecto de\) \(f\) \($pues el valor de las sumas s\'olo depende de qu\'e\) \({t}_{n}\) \($tomo.\) \($No importa cu\'anto refine la partici\'on, la suma va a valer 9 si\) \({t}_{n}=3,\) \($o a lo sumo 8 si\) \({t}_{n} \in [{x}_{n-1},3).\) \($Luego\) \(\alpha \notin \Re(f) \Rightarrow f \notin \Re (\alpha)\)