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[Resuelto con dudas] Ejercicio 2 12/03/09

2 respuestas 6248 visitas 2009-12-28

#1 Erizo 2009-12-28 02:25

Lo posteo porque lo hice con muchas dudas... La verdad que esto no me termina de cerrar, pero bueno...

$Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto y sea $B \subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto cualquiera.

$$$Probar que el conjunto:$$

A + B = \{a+b : a\in A, b\in B\}

$$$es abierto.$$

$$Como A es abierto, para cada $a \in A$, existe un $\delta > 0$ tq $(a-\delta,a+\delta)\subset A$

$O sea que si s \in $(a-\delta,a+\delta) \Rightarrow s \in A

$Quiero ver que existe $\Delta > 0$ tq si $t \in B_\Delta (x)$ y $x \in A+B \Rightarrow t \in A+B

$Fij\'emonos que:

$Como $x \in A + B \Rightarrow \exists a \in A, b \in B tq x = a+b

$Ahora como s \in A, t:=s +b \in A+B.

$Sea $\delta = \Delta

\vert t-x \vert =\vert a + b -x \vert = \vert s + b - (a+b) \vert = \vert s-a\vert < \delta

$t \in A+B $como quer\'iamos probar$

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#2 Erizo 2009-12-28 02:40

Se me ocurrió otra forma (o la misma idea pero más contundente).
$$Sea $\beta $ un elemento de B$

$Tomo el subconjunto $(A+B)_\beta = \{\beta + a$ tq $a \in A}

$Lease, $\beta$ esta fijo.

$$$Luego por lo que puse antes (o con la misma idea) se ve que estos conjuntos son abiertos$$

A + B = Union de todos los $(A+B)_\beta

Se puede probar esto... salen las inclusiones... $$Como los $(A+B)_\beta$ son todos abiertos, luego A+B es abierto$

#3 ALE 2009-12-28 05:14

para la primera: ojo! vos no querés mostrar que existe un delta para cada x de A+B!!!!

Lo que debés hacer es tomar un x de A+B y mostrar qe para ese x hay un delta tal que (x-delta,x+delta) se mete en A+B. Vos ahi no probaste eso. Igual la idea es esa...

A ver... te lo escribo
Sea x en A+B luego x deja escribirse como a+b con a en A y b en B. Para ese x yo me propongo encontrar un número real positivo que verifique la definición de punto interior. Adelante...
Como $a\in A\Rightarrow\exists\delta>0 / (a-\delta,a+\delta)\subseteq A$ Veamos que ese delta sirve para x y A+B, es decir que $((a+b)-\delta,(a+b)+\delta)\subseteq A+B$

Sea $y\in (a+b-\delta,a+b+\delta)\Rightarrow a+b-\delta<y<a+b+\delta\Rightarrow a-\delta<y-b<a+\delta$
Luego se tiene $y-b\in A$ pero $y=(y-b)+b$ luego $y\in A+B$como quer[ia verse