$$$Sea A $\subset \mathbb{R}$ un conjunto no vac\'io y acotado (superior e inferiormente). Probar que $sup (A) - inf(A) = sup \{x-y: x\in A, y\in A\}$$
Se me ocurrió pensar en sucesiones, pero no saqué ninguna conclusión al respecto. Decir que existe una sucesión que tiende al supremo de A y una que tiende al ínfimo de A y ve que pasa con la resta de las sucesiones. Pero no logro darme cuenta como salto de ahí a que es el mismo límite que que supremo de los x-y.
Muchas gracias desde ya
\(A>x\) para todo \(x \in A\) por ser cota superior de \(A\)
\(B<y\) para todo \(y\in A\) por ser cota inferior de \(A\)
Ahora combinando estas dos desigualdades se tiene que para todo \(x,y \in A\)
\(A-B>x-y\) entonces \(A-B\) es cota superior del conjunto \(C=x-y / x,y \in A\)
Ahora es fácil probar que si un número \(d\) es cota superior de un conjunto \(d_n\) y para todo \(\epsilon>0\) existe un \(d_k\) tal que \(d_k+ \epsilon>d\) entonces \(d\) es el supremo, ya que es una cota superior y si hubiera una más chica,digamos \(d'\) se tiene que si \(\epsilon=d-d'>0\) entonces
existe \(d_j\) tal que \(d_j>d- \epsilon=d'\) contradiciendo que sea cota superior.
(Para el ínfimo vale algo similar). Sea \(\epsilon>0\). Queremos ver que existen \(x,y \in A\) tales que
\(x-y+\epsilon>A-B\) con eso alcanzaría para ver que el supremo de \(C\) por lo expuesto anteriormente.
Pero fijate por el mismo argumento para este \(\epsilon>0\) que nos tomamos existe \(x,y \in A\) tal que
$$x+ \frac{\epsilon}{2}>A$$
\(B>y- \frac{\epsilon}{2}\) combinas estas dos cosas y te queda justamente lo que queríamos probar. Perdón por escribir tanto, pero creo que así se entiende bien.
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Hay una manera muy facil de resolver este ejercicio si te acord[as de ciertos ejercicios de la practica:
usando esos ejercicios (que ahora no me acuerdo pero deben andar por el 7 u 8 del tp 1):
\(A+(-A):=\{a_1-a_2,a_1\in A,a_2\in A\}\) a partir de las definiciones de A+B y de -A
Además sup(A+(-A))=sup (A)+ sup (-A) por otro ejercicio
y por otro ejercicio inf(-A)=-sup(A) es decir -inf(A)=sup(-A)
con lo cual sup (el conjunto que te dan en el ejercicio, que sería A+(-A))=sup(A)-inf(A)
la trampa o la contra acá es que tenés que acordarte de los ejercicios....
