Problema 1
Sea \((a_n)_{n \in N}\) una sucesión de reales que converge a \(a\) y \((b_n)_{n \in N}\) una sucesión de reales acotada.
Demostrar que \(limsup(a_n+b_n)=a+limsup(b_n)\)
Problema 2
Sea \(K\) un subconjunto compacto de \(R\) tal que \(0\) no pertenece a \(K\). Se define el conjunto
\(C=:{\frac{x}{y}\) \(/ x,y \in K\)
Demostrar que \(C\) es compacto
Problema 3
Sea \(A\) un subconjunto de \(R\) y sea \(f:A \longrightarrow R\) una función uniformemente continua.
a)Probar que si \((x_n)_{n \in N}\) es una sucesión de cauchy, entonces \((f(x_n))_{n \in N}\) es una sucesión de cauchy.
b) Sea \(x_0\) un punto de acumulación de A
Probar que existe\(lim_{x \to {x_0}} f(x)\)
Problema 4
Sea \(\alpha: [0,1] \longrightarrow R\) una función creciente continua en \(1\)
Demostrar que:\(lim_{n \to \infty} \int^1_ 0 x^n\,d{\alpha} =0\)
Después cuando me devuelvan el parcial posteo alguna solución, saludos.
1-Un número \(M\) es límite superior de una sucesión de reales \({c_n}_{n \in N}\) acotada si y solo si para todo
\(\epsilon >0\) se verifican las siguientes dos propiedades
1-Existen solo finitos \(n\) tales que \(c_n>M+ \epsilon\)
2-Existen infinitos \(n\) tales que \(c_n>M- \epsilon\)
Es claro que la sucesión \(a_n+b_n\) está acotada, dado que \(b_n\) está acotada y \(a_n\) está acotada por ser convergente.
Sabemos que dado \(\epsilon>0\) existe \(n_0\) tal que \(n \ge n_0\) implica \(|a_n-a|< \frac{\epsilon}{2}\)
Además para ese mismo epsilon se cumple que si llamamos \(limsup{b_n}=M\) hay solo finitos \(n\) tales que
\(b_n>M+\frac{\epsilon}{2}\) y hay infinitos \(n\) tales que \(b_n>M-\frac{\epsilon}{2}\)
Ahora vemos que dado cualquier \(\epsilon>0\)
\(a_n>a-\frac{\epsilon}{2}\) para \(n \ge n_0\) y \(b_n>M-\frac{\epsilon}{2}\) para infinitos valores de \(n\); en particular si nos restringimos a los mayores a \(n_0\) sigue habiendo infinitos y combinando las dos desigualdades \(a_n+b_n>a+limsup{b_n}- \epsilon\) para infinitos \(n\)
Además para \(n \ge n_0\) \(a_n<a+ \frac{\epsilon}{2}\)
Además solo para finitos \(n\) se cumple que \(b_n>M+\frac{\epsilon}{2}\) entonces solo para finitos se cumple las dos desigualdades combinadas es decir solo para finitos se tiene que
\(a_n+b_n>a+limsup{b_n}+ \epsilon\) por lo tanto hemos probado que el límite superior de \(a_n+b_n\) es el buscado
2-Si consideramos \(K \cap [0, +\infty]\) como es intersección de cerrados es cerrado y como es un subconjunto de \(K\), que está acotado, está claramente acotdado. Entonces este conjunto es un compacto, en particular alcanza máximo y mínimo, siendo este último mayor a cero (el cero no pertenece a la intersección). Hacemos lo mismo con los negativos y vemos que alcanza máximo y mínimo, siendo el máximo menor a cero. Ahora es bastante fácil ver que el conjunto \(C\) está acotado, solo es cuestión de escribirlo.
Sabemos entonces que el conjunto \(C\) es acotado, para probar que es compacto veremos que es cerrado, lo que hacemos es tomar una sucesión de puntos de \(C\), llamémosla \(z_n\) convergente a \(z_0\). Si logramos demostrar que \(z_0 \in C\) ya está.
Sabemos que como \(z_n \in C\) \(z_n=\frac{x_n}{y_n}\) donde \(x_n,y_n \in K\). Como es compacto existe una subsucesión convergente de \(x_n\) que converge a un elemento \(l \in K\). Entonces si consideramos \(\frac{x_{n_k}}{y_{n_k}}\) como es una subsucesión de \(z_n\), converge al mismo límite que \(z_n\), o sea \(z_0\). Entonces es fácil ver que \(y_{n_k}\) tiende a \(\frac{l}{z_0}\) por álgebra de límites. Como \(y_{n_k}\) es una sucesión de elementos de \(K\) y éste es compacto, en particular cerrado, vemos que el límite pertenece al conjunto, es decir \(\frac{l}{z_0} \in K\). Además como sabemos que \(l \in K\), usando la definición del conjunto \(C\) vemos que \(\frac{l}{\frac{l}{z_0}}=z_0 \in K\)
que es precisamente lo que queríamos ver para probar que \(C\) es cerrado
3-a) Como es uniformente continua dado \(\epsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que
\(|x-y|< \delta\) y \(x,y \in A\) implican \(|f(x)-f(y)|< \epsilon\)
Para el \(\delta\) dado existe \(n_0\) tal que \(n,m \ge n_0\) implican \(|x_n-x_m|< \delta\)
(por ser de Cauchy)
Entonces dado \(\epsilon>0\) existe \(n_0\) tal que \(n,m \ge n_0\) implica que \(|f(x_n)-f(x_m)|< \epsilon\) , es decir, es de Cauchy, como queríamos.
b)Para probar que existe el límite que nos piden, lo que vamos a hacer es ver que cualquier sucesión de puntos de \(A\)
\({x_n}\) que tienda a \(x_0\) se tiene que existe el límite de \(f(x_n)\) cuando \(n\) tiende a infinito y además que ese límite no depende de \({x_n}\) (o sea es único). Fíjense que como corolario a este problema si tenemos una función uniformemente continua definida en un subconjunto \(B\) de \(R\) podemos extenderla con continuidad a la clausura del conjunto \(B\).
Para ver que existe sabemos que una sucesión es de Cauchy si y solo si converge (estamos en\(R\))
Sabemos que \(x_n\) converge por hipótesis, entonces es de Cauchy, entonces por \(a)\) \(f(x_n)\) es de Cauchy y entonces converge. Para ver que el límite es único supongamos que tenemos dos secuencias \(x_n\) y \(y_n\) convergentes a \(x_0\). Supongamos que \(f(x_n)\) converge a \(l\) y \(f(y_n)\) converge a \(m\). Sabemos que \(x_n-y_n\) converge a cero es decir dado \(\delta'>0\) existe \(n_0\) tal que \(n \ge n_0\) implica \(|x_n-y_n|<\epsilon\). Usando la continuidad unifrome sabemos que para todo \(\epsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(|x-y|<\delta\) implica \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\). Elegimos \(\delta'\) tal que \(\delta'=\delta\) nos queda que para \(n \ge n_0\)
\(|x_n-y_n|<\delta\) y eso implica \(|f(x_n)-f(y_n)|< \epsilon\) por lo tanto nos queda que \(l=m\) ya que las dos sucesiones tienden a lo mismo (su diferencia tiende a cero).
El 4 se los debo, a ver si alguien se copa a postearlo
Yo quiero ver la existencia de ese limite, osea \(\forall \epsilon >0\),\(\exists n_{0}\) tq \(\forall n \geq n_{0}\)\(\int^1_ 0 x^n\,d{\alpha} < \epsilon\) puedo sacar el modulo, porq es siempre mayor o igual que cero ( se ve escribiendo una suma R-S cualquiera los terminos son todos positivos)
Ahora bien, la integral es igual a la integral superior ( es integrable, pues alfa es creciente y \(x^n\) continua para todo n) y es menor = que una suma superior cualquiera.
Ahora tomo una particion tal que \(\Vert P \Vert < \delta\) (mas adelante especifico el delta), escribo la suma superior y la divido en 2 pedazos,
donde esta solo el ultimo termino
el resto de la suma
Veamos que pasa con cada uno:
en 1) voy a tener\(1^n ( \alpha (1) - \alpha (X_{k-1}))\)
Pero \(\alpha\)es continua en 1 \(\Rightarrow\) dado \(\frac{\epsilon}{2}\) \(\exists \delta >0\) tq \(\vert 1-x \vert < \delta \Rightarrow | \alpha (1) - \alpha (x) \vert < \epsilon\)
(este es el delta que mencione arriba. luego, la ultima parte es menor que \(\epsilon /2\)
Ahora, voy a tener una cantidad finita de \(( \alpha (X_{k}) - \alpha (X_{k-1}))\) (pues P esta fija) y toma el maximo del conjunto y lo llamo M, ademas la particion determina una cantidad finita de intervalos mas pequeños, llamo r a la cantidad de esos intervalos.
ahora, como \(X^n\)es una sucecion que tiende a cero ( pues 0<x<1) \(\Rightarrow\)dado \(\epsilon /2.M.r\) \(\exists n_{0}\) apartir del cual \(\vert X^n \vert < \epsilon /2.M.r\)
Luego si \(n>n_{0}\)
\(\sum_{k=1}^{r-1} (X_{k})^n ( \alpha (X_{k}) - \alpha (X_{k-1}))\) < \(\sum_{k=1}^{r-1}\frac{\epsilon}{2.M.r} . M\)(acoto el alfa por el maximo, y\(X^n\) por lo mencionado del limite anteriormente)
=\(\frac{\epsilon}{2.r}\) \(\sum_{k=1}^{r-1} 1\) = \(\frac{\epsilon}{2.r} (r-1)\)< \(\epsilon /2\)
Luego, la suma superior es (1) + (2) < \(\frac{\epsilon}{2}\) +\(\frac{\epsilon}{2}\) < \(\epsilon\) si \(n > n_{0}\) y \(\Vert P \Vert < \delta\)
Y voy a poner una solucion mas linda para el 2
Vamos a usar que C es compacto \(\Leftrightarrow \forall X_{n}\)sucesion de elementos de C, \(\exists x_{n_{k}}\) subsuc que converge a un elemento de C.
Tomemenos\(X_{n}\) sucesion de elementos de C, como para cada n \(X_{n}\)es un elemento de K, lo puedo escribir como \(X_{n} = \frac {Y_{n}} {Z_{n}}\) donde \(Y_{n}\) y \(Z_{n}\) son sucesiones de elementos de K.
Como \(Y_{n}\) es una sucesion de elementos de K, y K es compacto entonces \(\exists Y_{n_{k}}\) subsuc, que converge a \(Y_{0}\) elemento de K
Luego considero \(Z_{n_{k}}\)es una sucesion de elementos de K, entonces \(\exists Z_{n_{k_{j}}}\) subsuc que converge \(Z_{0}\) (pues K es compacto)
Luego, considero la sucesion \(X_{n_{k_{j}}}\) (subsuc de \(X_{n}\)) definida como \(X_{n_{k_{j}}} = \frac {Y_{n_{k_{j}}}} {Z_{n_{k_{j}}}}\)Luego, esta subsuc, converge a \(\frac {Y_{0}} {Z_{0}}\) perteneciente a C, luego encontre una subsuc que converge a un elemento de C, para toda sucesion de elementos de C, osea C es compacto
Una pregunta. Yo para el 1 hice esto y me dijeron que estaba mal. Alguien se copa y me dice por que?
Llamé A a la sucesión "tomar supremo de \(a_n\)" y B a la sucesión "tomar supremo de \(b_n\)"
Luego probé que:
\(\vert A + B -(a + limsup \, b_n) \vert < \epsilon\)
mmm.... no entendí muy bien lo que hicsite pero si dijiste \(A=sup{a_n}\) como creo que decís no es correcto por lo siguiente.
primero que limsup (a_n) no es tomar el supremo de los a_n. Segundo que si así fuera vos, creo, cuando decís A+B estarías suponiendo que limsupa_n + limsupb_n = limsup(a_n+b_n) cosa que tampoco es cierto.
entendiste? no te digo más porque no estoy bien seguro de lo que hiciste... suerte!
