[no resuelto ] ej 1 25/6/09

otro de distancia

La clave es primero pensar que el compacto tiene un solo punto,digamos \(z\). Tomás un punto \(c\) del cerrado, y suponete que está a distancia \(d\) de \(z\). Ahora tomas la intersección del cerrado con la bola cerrada de radio \(d\) y centro \(z\). Es claramente no vacío (pues \(c\) está)
Ahora chequeá que cualquier punto del cerrado que no este en esa bola, esta a distancia mayor a \(d\) de \(z\). Ahora fijate que la intersección del cerrado con esta bola cerrada es un compacto (cerrado y acotado), entonces como la distancia es continua, se alcanza la distancia de este compacto a \(z\) y por lo tanto se alcanza la distancia del cerrado original a \(z\). Si ahora el compacto es cualquier cosa, definis
\(d(x,F)\) tal que \(x \in K\) Esta es una función continua y manda compactos en compactos, en particular existe \(x_0\) tal que \(d(K,F)=d(x_0,F)=inf ||x_0-y||\) con \(y \in F\). Por lo que vimos antes , esta distancia se alcanza, y entonces se realiza la distancia entre un compacto y un cerrado.
Habría que escrbir algún detalle que está un poco charlado, pero creo que se entiende.