Dejo el exámen que tomaron ayer.
Ejercicio 1.
Sea \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\ \subset \mathbb{R}\) con \(a_n \geq 0\ \forall n\). Sea \(K \subset \mathbb{R}\) compacto. Supongamos que \(\forall x \in K\) la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n|x|^n\) converge. Probar que la convergencia es uniforme en \(K.\)
Ejercicio 2.
Sea \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función. Probar que \(f\) es continua si y sólo si valen las siguientes afirmaciones:
a) \(f^{-1} ((\alpha,+\infty))\) es abierto para todo \(\alpha \in \mathbb{R}.\)
b) \(f^{-1} ((-\infty,\beta))\) es abierto para todo \(\beta \in \mathbb{R}.\)
Ejercicio 3.
Sea \(f: [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) de variación acotada tal que \(f(0) = f(2\pi).\)
a) Probar que \(\forall n \in \mathbb{N} :\ \int_{0}^{2\pi} cos(nx) df = n \int_{0}^{2\pi} f(x) sin(nx) dx.\)
b) Probar que \(lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2\pi} f(x) sin(nx) dx = 0.\)
Ejercicio 4.
Sea \((F_m)_{m \in \mathbb{N}}\) una familia de subconjuntos cerrados de \(\mathbb{R}\) tal que para todo \(x \in \mathbb{R}\) existe un intervalo abierto centrado en \(x\) que interseca sólo a uno de los conjuntos \(F_m.\) Probar que \(\bigcup_{m \in \mathbb{N}}F_m\) es un conjunto cerrado.