adicional, puntos de acumulación

Sea \(A=\{\frac{m}{2^n}, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}\) Calcular la clausura de A.

Mi idea fue pensar \(A=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}A_i\) y cada uno de estos tiene a 0 como punto de acumulación. PEro después pensé que este conjunto se parece a los racionales no periódicos... que se acumulan en todas partes...¿cual es la verdad?

me olvidé de decir quienes son los Ai: \(A_i:=\{\frac{i}{2^n},n\in\mathbb{N}\}\)

es denso

Que quiere decir denso con exactitud?

me dan siempre definiciones diferenteSS!!!! GRACIAS!

que la clausura es todo, cualquier otra cosa seguro que es equivalente.
p/ej, que el complemento tenga interior vacio.

oka!

Cual es la definición exacta de denso? al menos laq ue vos manejaás? porque siempre me dan una distinta

y si querés... cual es el argumento que falla al pensarlo como unioón y que sólo aparezca el 0?
MUCHAS GRACIAS!!

perdón... no me anda bien internet... esto ya lo mandé!!

La definición de Quimey es la de denso: \(A\) es denso en \(X\) si \(\overline{A}\eq=X\). Fijate que no es difícil probar que \(A\) es denso si toda bola centrada en \(x\in X\) tiene intersección no vacía con \(A\)(esto es... alrededor de cada punto de \(x\) tenés elementos de \(A\) tan cerquita como querés). Podés pensar el ejercicio de varias maneras; una, recordando la demostración que entre dos reales dados hay un racional. Otra, pensando en desarrollos binarios: dado un número real del \([0,1]\), lo podés escribir como \(\sum_{n\geq 1}{a}_{n}{2}^{-n}\) con los \({a}_{n}\in \{0,1\}\) para todo \(n\).
Fijate si te sirven estas ideas; en la primera vas a tener que usar alguna propiedad de la parte entera probablemente. La segunda es más directa...
Saludos