Dice.... \(S\subseteq\mathbb{R}\) talque para toda función \(f:S\rightarrow\mathhbb{R}\) continua Imf es acotado. Demostrar que S es compacto.
Mi duda es esto de que valga PARA TODA f CONTINUA... es raro, es mucho pedir?
Veré que S es cerrado y acotado.
S acotado: Supongamos que no, o sea que dado cualqueir M real, hay un x en S que lo supera. Como Imf es scotado para cualquiero función continua, tomo la función módulo que es recontracontinua en R. Luego dado el M de antes (que peude elegirse arbitrariamente) hay un x que lo supera. Pero por propiedad de módulo: \(|x|\geq x\) pero \(x>M\)
con l o cual \(y=f(x)=|x|>M\) o sea f(S) no está acotado. Absurdo!! Lurgo S es acotado
Veré que S es cerrado tomando una sucesión convergente de S y viendo que su límite está en S....¡¿¿¿???
ayuda para esto último?