ejercicio adicional

Sean S y T cerrados de R. Sean \(f_1:S\rightarrow\mathbb{R}\) y \(f_2:T\rightarrow\mathbb{R}\) continuas tales que \(f_1(x)=f_2(x)\forall x\in S\cap T\) Se define en SUT la función dada por f(x)=f_1(x) si x estáen S y f(x)=f_2(x) si x está en T

a) demostrar que f es continua
b) analizar a en el caso que S y T no se supongan cerrados

Idea,...
Tomo \((a_n)\subseteq SUT\) convergente a a. como SUT es cerrado por ser union finita de cerrados tengo que a está en SUT. Yo quisiera que \(f(a_n)\rightarrow f(a)\)

Como a está en SUT, o está en S o en T (o en ambos) en cyualquiera de los tres casos hago lo mismo... veamos uno de ellos...
Si a esstá en S, me tomo una subsucesión de a_n totalmente contenida en S, por ej \((a_n_{j})\) Luego como \(f_1\)es continua, tengo que \(f(a_n_{j})\rightarrow f(a)\)
Lo mismo podría hacer suponinedo que a está en T
Pero la convergencia de una subsucesión no me asegura la de la sucesion...:S !!!

Y ahora???

No se si esta bien, pero yo lo pensé separando los casos de donde esta la sucesión que tomas, o sea:
Si esta toda en S, si esta toda en T, si tiene infinitos terminos en S y finitos en T (o viceversa), y si tiene infinitos terminos en S e infinitos en T.

SIIII!!!

yo lo pensé asi primero pero me encontré con problemas:

Si ambos son infinitos no hay problema porque tomás dos subsucesiones de la sucesión original y listo

si está toda en S o toda en T tampoco,... es fácil

Si los dos son finitos... SUT es compacto y finito luego no tiene ptos de acumulación lugo f es continua

y si uno es finito y el otro no...:S:S ahi está la cosa

porque primero pensé en tomar una subsucesión que me deje afuera los finitos términos de uno de los conjuntos....
pero... si el conjunto es finito, la sucesión va a tener infinitos trérminos de ese conjunto donde sí o sí habrá repeticiones!!

GARCIAS POR CONTESTAR!!!

Este es uno de los lemas de pegado para la continuidad de funciones definidas sobre una cierta partición del espacio total... en fin, creo que se entiende el por qué de ''pegado''. Para resolver el ejercicio, la idea crucial es:
Una función es continua si la preimagen de cerrados es un cerrado. Un cerrado \(F\) de \(\mathbb{R}\) le toman \({f}^{-1}(F)\). Ahora
\(F\eq= F\cap \mathbb{R}\), entonces

Usando ahora que \(S\eq={f}_{1}^{-1}(\mathbb{R}),T\eq={f}_{2}^{-1}(\mathbb{R})\) queda:

Una vez que se convencen que \(({f}^{-1}(F)\cap {f}_{1}^{-1}(\mathbb{R}))\eq={f}_{1}^{-1}(F), {f}^{-1}(F)\cap {f}_{2}^{-1}(\mathbb{R})\eq={f}_{2}^{-1}(F)\), utilizan que cada \({f}_{1},{f}_{2}\) es continua, con lo que \({f}_{1}^{-1}(F),{f}_{2}^{-1}(F)\) son cerrados de \(S,T\) respectivamente(en este punto estamos usando que \(S,T\) son cerrados) y como la unión finita de cerrados es cerrado, resulta \({f}_{1}^{-1}(F)\cup {f}_{2}^{-1}(F)\) cerrado, lo que termina por probar que \({f}^{-1}(F)\) es cerrado.

Perdón por la desprolijidad; tengo parcial a la mañana... en fin, espero que sirva. Por cierto, con el argumento de sucesiones sale, y si en vez de cerrados son abiertos, anda el mismo argumento inclusive para una familia arbitrari de abiertos(que se peguen bien, esto es, coincidan en los puntos que tienen en común). Si son cerrados, vale para finitos...
Saludos.