Ejercicio: \(f:[a,b]\rightarrow\mathhbb{R}\) continua y tal que \(f\geq 0\) en [a,b]. Si g es estrictamente creciente probar que \(\int_a^bfdg=0\Rightarrow f=0\) en [a,b]
El ejercicio en realidad es doblei mplicacion, pero la vuelta sale fácil
Vamos al teor directo....
como f es continua y g es un integrador creciente, vale que la integral es igual a cualquiera de las dos (la superior o la inferior) con lo cual voy a analizar lo siguietne:
\(\overline{S}(P)=\sum_{k=1}^nM_k(g(x_k)-g(x_{k-1}))\) donde \(M_k:=m\´ax\{f(x):x\in[x_{k-a},x_k]\}\) quqe existe sin dudas pues f es continua sobre un compacto. como g es strictamente creciente y f es positia tenemos que
\(\overline{S}(P)\geq 0\) para cualqueir partición P
Luego tenemos, por definición y luego por hipotesis que:
De estas dos conclusiones tenemos que toda suma superior de cualqueir partición es 0. O sea que para cualquier partición vale \(\overline{S}(P)= 0\) si tomamosn en particular la partición P={a,b} tenemos que \(\overline{S}(P)=m\´ax{f(x):x\in[a,b]\}(g(b)-(g(a))=0\)
pero el segundo factor no es 0 pues g es estrictamente creciente, luego \(max{f(x)}=0\) o sea que \(f(x)\leq 0\) y por hipótesis \(f(x)\geq 0\) luego f es la función nula en [a,b]
Dudo del argumento de "elegir" una particion....:S ayuda!