[dudas] alguien responda!! sobre func continuas

Caracterirar todas las funciones continuas con dominio en los números reales y recorrido en los enteros

Bueno, yo digo esto.... f es continua en un \(x_0\in\mathbb{R}\) luego dado \(\epsilon>0\) es posible hallar \(\delta>0\) de modo que \(|x-x_o|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)

Pero se tiene por como está defnida f que \(f(x),f(x_0)\in\mathbb{Z}\)
Eligiendo \(\epsilon =0,01\) ocurre que habrá un delta tal que \(|f(x)-f(x_0)|<0.01\) bajo la condición de que x y x_0 disten menos que delta. Pero esto implica que \(f(x)=f(x_0)\) pues se trata de números enteros.

Es decir que f es constante en el intervalo \((x_0-\delta,x_o+\delta)\)
Como el x_0 fue arbitgrariamente elegido, se tiene que f es constante en R

bien? tengo dudas en el argumento de x_0

Es correcto. Ahora la posta:
Una funcion continua manda conexos en conexos, los reales es conexo, cuales son los conexos de los enteros?
Es un poco mas conceptual pero las cuentas involucradas son las mismas

Genio.... muchas gracias

Este año no vimos conexos, pero lo voy a buscar asi veo si me sale de ese modo...

Este ejercicio también lo podés pensar en términos de la compacidad, pensando quién es \(f([-L,L])\) para \(L>0\)(la imagen debería ser un compacto al ser la función continua y los intervalos cerrados reales compactos), puesto que los compactos de \(\mathbb{Z}\) son finitos.
De cualquier forma, la posta es lo que dijo Quimey.

PD: lo que estoy tratando de hacer arriba es usar el resultado: \(f:X\rightarrow Y\) continua y abierta. Si \(X\) es localmente compacto, entonces \(f(X)\) es localmente compacto.