]Es fácil, o parece pero tengo dudas....
dice: sea \((a_n)\subset(1,+\infty)\) tal que \(lum sup_na_n=1\) Probar que \(lim sup_n(log(a_n))=0\)
Por definición tengo que \(lim sup_n(log(a_n))=lim_{k\rightarrrow +\infty}\(sup \{log(a_n),n\geq k\}\)\)
Veamos que ocurren:
i) \(\forall\epsilon >0, \exists n_o\) tal que \(log(a_n)<\epsilon \forall n\geq n_o\)
ii) \(\forall\epsilon >0 \tex{existen infinitos n tales que} log(a_n)>-\epsilon\)
y si es así el límite vale 0
i)Por hip+otesis, existe \(n_o\) tal que \(a_n<1+\epsilon\forall n\geq n_o\)
y como \(1+\epsilon<e^\epsilon\) se tiene que \(\exists n_0 / a_n<e^\epsilon\forall n\geq n_o\)
entonces \(log(a_n)<\epsilon\forall n\geq n_o\) listo i)
ii) para cada \(\epsilon>0\) existen infinitos n tales que \(a_n>1-\epsilon\) pero como \(1-\epsilon>e^{-\epsilon}\) se tiene \(a_n>e^{-\epsilon}\Rightarrow log(a_n)>-\epsilon\) listo ii)
Asi completo la prueba