Tema
Sean K compacto y A abierto tales que \(K\subseteq A\subseteq\mathbb{R}^n\) Probar que existe un abierto U tal que \(K\subseteq U\subseteq\overline{U}\subseteq A\)
Pensé en proponer el u y ver que sirve... pero no sé como proponerlooo!!! no se me ocurre otra cosa.
Bueno, tiro una idea:
Para cada punto \(x\) de \(K\), tenés una bola abierta \({B}_{{r}_{x}}(x)\subseteq A\) pues \(A\) es abierto. Entonces \(\{{B}_{{r}_{x}}(x)\}_{x\in K}\) es un cubrimiento por abiertos de \(K\). Como \(K\) es compacto, admite subcubrimiento finito. Entonces... fijate si sirve \(U\eq=\bigcup_{i\eq=1}^{n}{B}_{{r}_{{x}_{i}}}({x}_{i})\) donde lo que hice es tomar la unión de los elementos del subcubrimiento finito.
PD: los radios que tomé al principio probablemente haya que mejorarlos para pedir \(\overline{{B}_{{r}_{x}}(x)}\subseteq A\). Por otro lado, notá que es importante que que me quede una unión finita
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Con ese U es claro que est´a contenido en A pero su clausura no tanto...
lo que hice siguiendo la idea es tomar bolas de radio la mitad de cada radio elegido previamente. Sigue siendo la unión un cubrimiento de K que admite subcubrimiento finito. Y ahí si es claro que la clausura de U se mete en A.
¿habría qe escribir algo más¡? oestá bien?