Dadas \(f(x)=e^x\) \(\alpha(x)=x-ent(x)\) ent parte entera. Decidir si existe y luego calcular \(\int_0^2fd\alpha\)
también está en la práctica de ahora
El teema es como alfa no es creciente no puedo aplicar las lindas propiedades que vimos
si uno la divide en dos pedazos queda requetefacil porque x-entx queda más linda. Pero si uno no lo hace asi (en clase no probamos que esto pueda hacerse..., aunque en la práctica hicieron un ejercicio dividiendo en dos pedazos)... Puede aplicarse linealidad asi
$$\int e^xdx-\int e^xd(ent(x))$$
la primera es de Riemann da \(e^2\)
Pero la segunda...¿c{omo la calculo? segun lo que pensé deber{ia dar \(e+e^2\) Pero como ahora si alfa es creciente la puedo dividir en dos:
$$\int_0^1 e^x(dent(x))+\int_1^2 e^x d(ent(x))$$
Pero entx=0 en el primerc as o y 1 en el segundo (salvo para x=1 y x=2 pero no importa porque no cambia la integral si le cambiamos un sólo valor a alfa) y acá me dan 0 ... ¡¡que hice mal!!
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_d ... -Stieltjes
Fijate en la parte de integradores discontinuos, capaz que te sirve
La idea es mirar funciones que que peguen saltos como la función parte entera. Esta función es discontinua a izquierda en los enteros, pero continua a derecha en todos lados. Si tomo esa función como mi integrador, y a una función \(f\) que sea continua a izquierda en los enteros, me asegura que exista la integral de RS y además en las partes donde parte entera es constante no me va a "aportar" nada a la integral, mientras que cada salto me va a "aportar" \(f\) en el salto por la longitud del salto, que en el caso de la función parte entera es \(1.f(n)\). En general esto se puede usar para funciones del estilo de la parte entera, lo que tenés que asegurarte es que en todo punto, al menos una de las dos sea continua a derecha y al menos una de las dos continua a izquierda (eventualmente podría ser que alfa sea discontinua en los dos lados pero \(f\) sea continua en el punto, eso también funciona). Podés leer la demostración en cualquier libro, yo en particular lo leí en el Analisis Matemático de Apostol, igual sale fácil la demostración, solo hay que escribir con cuidado cada cosa.
Fijate que lo que intuiste al principio estaba bien, es mentira que si cambiás un punto de alfa la integral siga siendo la misma.