A ver, el ejercicio está resuelto, pero me parece... raro...
El ejercicio dice:
$$$Sea $F: (0,1) \cap \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ uniformemente continua. Probar que existe una \'unica extenci\'on continua de $\overline{F}: (0,1) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ donde si x \in \mathbb {Q} , F(x)=\overline{F}(x)$$
\($Sea $c \in \mathbb{R}\cap (0,1)\)
$$$Entonces, existe una funci\'on $\{a_n\} \subset \mathbb{Q}\cap (0,1)$ creciente que converge a c y otra, $\{b_n\} \subset \mathbb{Q}\cap (0,1)$ decreciente que converge a c.$$
$$$Como F es uniformemente continua, $\forall \epsilon > 0 , \exists \delta > 0$ tq $\vert x-y \vert < \delta \Rightarrow \vert F(x) - F(y) \vert < \epsilon$$
$$$Pero entonces, como $a_n$ y $b_n$ tienden ambas a c y son elementos de $Q\cap (0,1)$, se cumple que $\vert a_n-b_n \vert<\delta$ entonces $ \vert F(a_n)-F(b_n) \vert \epsilon$$$
\($Entonces puedo definir $\overline{F} (x) = \lim_{n \to \infty} a_n \hspace{1cm}$ si $ x \in \mathbb{I}\cap (0,1)\)
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