Estaba leyendo el abbott y me topé con esto:
Sea \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que se cumple que \(F(x+y) = F(x) + F (y) \,\,\, \forall x \in \mathbb{R}\) .
Probar que
$$\bullet F(0) = 0$$
$$\bullet F(-x)=-F(x)$$
\(\bullet\) si \(F\) es continua en \(x=0\) entonces es continua en todo \(\mathbb{R}\)
Para el primero:
$$F(0 + 0) = F(0) = F(0) + F (0) \Rightarrow F(0) = F(0)+F(0) \Rightarrow 0=F(0)$$
Para el segundo:
\(F(0)=0=F(x -x) = F(x) + F(-x) \Rightarrow F(x) +F(-x) = 0 \Rightarrow -F(x) = F(-x)\)
El tercero no me sale. ¿Alguien me ayuda?
Desde ya muchas gracias.
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