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Estoy haciendo la práctica 3 de taller y ando un poco perdido (en particular proque no le di mucha bola por los parciales). ¿Había un resultado muy útil que decía que si existía una sucesión de términos del dominio estrictamente creciente/decreciente que convergía a un valor entonces aplicarle F a esa sucesión debía converger a un valor del codominio?
Si es así, donde puedo conseguir esa demostración (que no sea de la carpeta de un compañero.. 😎 ). Muchas gracias desde ya
si F es continua es cierto y no es necesario que la sucesion sea creciente, si F no es continua no es cierto.
Quimey
Lo de F continua me mata.. Yo preguntaba porque quería probar un ejercicio que dice:
Sean \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) monótona y \(x \in (a,b]\). Demostrar que si existe una sucesión \((x_n)_{(n \in \mathbb{N})} \subset (a,b]\) tal que:
Entonces \(f(x^-) = l\)
(supongo que \(x^-\) es algo así como el límite por izquierda no?)
Puedo saber a partir de esto que f es continua?
Un saludo y gracias
Erizo escribió:
Lo de F continua me mata.. Yo preguntaba porque quería probar un ejercicio que dice:
Sean \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) monótona y \(x \in (a,b]\). Demostrar que si existe una sucesión \((x_n)_{(n \in \mathbb{N})} \subset (a,b]\) tal que:$$\bullet \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x$$$$\bullet x_n < x \all n$$$$\bullet \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = l$$Entonces \(f(x^-) = l\)
(supongo que \(x^-\) es algo así como el límite por izquierda no?)
Puedo saber a partir de esto que f es continua?
Un saludo y gracias
A ver, en realidad no se si va a terminar siendo contínua, podría no ser contínua. Más concretamente, lo que te piden ahí es que demuestres que el límite lateral por izquierda en x, para la función f es l. En continuidad nos importaría lo siguiente \(f(x) \rightarrow f(x_{0})\) cuando \(x \rightarrow x_{0}\) pero realmente el valor de \(f(x_{0})\) acá no lo sabemos. Creo que vos estás interpretando que \(f(x_{0}) = l\), (como evaluación en la función).
No se si se entendió, preguntá por las dudas, pero el problema creo que no tiene mucho que ver con continuidad, sino que de algún modo lo que dice es que si tenés dos sucesiones tales que \(X_{n} \rightarrow x\) y \(f(X_{n}) \rightarrow l\) entonces \(f:[a,b] \rightarrow{\mathbb{R}}\) como función que toma valores cualquiera reales próximos a x (y no valores exclusivamente de la sucesión \((X_{n})_{n\in{\mathbb{N}}}\) ) tiene que tender a lo mismo que tendía por sucesiones.
Espero que haya servido de algo
Un consejo para este problema.... Suponé que f(x^-) no converge a l y vas a llegar a un absurdo...
PD: Estás invitado a colaborar con la wiki de taller.... 😄
