Tema
Hola a todos:
Necesito ayuda para el siguiente problema.
Sean \($u_n:\mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}$\) funciones tales que para cada n, el \($\displaystyle\lim_{z\to z_0} u_n(z)$\) existe y es igual a \($a_n$\).
Si la serie \($\displaystyle\sum _n \left\|u_n\right\|$\) (con la norma supremo) es convergente entonces la serie \($\displaystyle\sum _n a_n$\) converge y
Muchas gracias y saludos. 🙂
Si escribís lo que intentaste y donde te trabaste te doy una mano...
Quimey
Hola Quimey: (¿El mismo del Rincón Matemático?)
Gracias por contestar.
De todos modos ya pude resolver el problema.
En este orden:
Demostré que \(\sum_{n=1}^\infty \left(u_n(z)\right)\) converge en norma y por lo tanto uniformemente.
Demuestro que \(\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\right)\) converge.
Con los resultados anteriores, uso la definición de límite para demostrar que
\(\forall\varepsilon \exists\delta:\displaystyle \left|z-z_0\right|<\delta\Rightarrow \left | \sum_n u_n(z) -\sum_n a_n \right |<\varepsilon\).
¿Me podrás dar un contraejemplo de que no se puede hacer el intercambio entre suma y límite cuando \(\inline\sum_n\left \| u_n \right \|\) no es convergente?
Gracias y saludos. 🙂
No soy el mismo de rincon matemático. Después veo si puedo encontrar el contraejemplo.
Hola a todos:
Peperino escribió:
¿Me podrás dar un contraejemplo de que no se puede hacer el intercambio entre suma y límite cuando \(\inline\sum_n\left \| u_n \right \|\) no es convergente?
Como me pareció que el texto citado corresponde a otro problema, abrí un nuevo tema
en esta dirección
Saludos y gracias. 🙂