EJERCICIO 1:
Calcular las fórmulas de las siguientes sucesiones:
\((i)\)
\(({i}^{2})\)
\(({i}^{3})\) \({a}_{n}=\sum_{i=1}^{n} {i}^{3}\) \(si \; n\geq 1\)
EJERCICIO 2:
\((i)\) Sea \({({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \({\mathbb{C}}^{\mathbb{N}}\) tal que \({x}_{2}=2\) y \({x}_{n+2}=-2{x}_{n+1}-4{x}_{n} \; \forall n\in\mathbb{N}\). Calcular \({x}_{2003}\)
\(({i}^{2})\) Sea \({({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \({\mathbb{C}}^{\mathbb{N}}\) tal que \({x}_{55}=3\) y \({x}_{n+2}={x}_{n+1}-{x}_{n} \; \forall n\in\mathbb{N}\). Calcular \({x}_{1}\)
EJERCICIO 3:
Sean \(a,b\in\mathbb{C}\) y sea \(A\in{\mathbb{C}}^{nxn}\) la matriz
EJERCICIO 4:
\((i)\) Sea \({({y}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) y \(\; {({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\) sucesiones recursivas lineales. Probar que \({({x}_{n}.{y}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) es una sucesión recursiva lineal.
\(({i}^{2})\) Sea \({({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) la sucesión dada por \({x}_{n}=(n+{2}^{n}).{F}_{n} \;\forall n\in\mathbb{N}\) (donde \({({F}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) es la sucesión de Fibonacci). Definir \({({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) por medio de una recurrencia lineal. (Sugerencia: usar el item anterior.)
EJERCICIO 5:
\((i)\) Sea \({({x}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) una sucesión recursiva lineal que satisface el polinomio \(\; g\in\mathbb{C}[X] \;\), sea \({({y}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) una sucesión en \({\mathbb{C}}^{\mathbb{N}}\) y \(\; {\alpha}_{0}, \; ..., \; {\alpha}_{k-1}\in\mathbb{C} \;\) tales que \({y}_{n+k}=\sum_{i=0}^{k-1} {\alpha}_{i}{y}_{n+i} + {x}_{n}\) \(\forall n\in\mathbb{N}\)
Si \(\; f={X}^{k}-\sum_{i=0}^{k-1}{\alpha}_{i}{X}^{i} \;\) probar que \({({y}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) es una sucesión recursiva lineal que satisface el polinomio \(f.g\)
\(({i}^{2})\) Calcular el término general de la sucesión \({({\Im}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) definida por
EJERCICIO 6:
Calcular una fórmula general para las sucesiones \(\; {({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) y \(\; {({b}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} \;\) definidas por