EJERCICIO 1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en \({\mathbb{C}}^{2}:\)
EJERCICIO 2:
Sean \(f(X,Y)={Y}^{2}+{X}^{2}-4 \;\) y \(\; g(X,Y)=XY-1. \;\) Hallar polinomios \(\; P,Q\in\mathbb{Z} \; [X,Y]\) tales que \(\; {Res}_{Y}(f,g)=P.f+Q.g \;\)
EJERCICIO 3:
Sean \(A\) y \(B\) dominios de factorización única tales que \(A\) es un subanillo de \(B\).Sea \(f \in A[X]-A\) un polinomio y sean \(\; {\alpha}_{1},...,{\alpha}_{n}\in B \;\)tales que \(\; f({\alpha}_{i})=0 \;\) \(\; \forall 1\leqslant i\leqslant n.\)
\((i)\) Demostrar que el polinomio \(\; S(Y)={Res}_{X}(f(Y-X),f(X)) \in A[Y] \;\) se anula en \({\alpha}_{i}+{\alpha}_{j}\) con \(1\leqslant j,i\leqslant n.\)
\(({i}^{2})\) Si \({\alpha}_{i}\neq 0(1\leqslant i\leqslant n)\),demostrar que el polinomio \(\; D(Y)={Res}_{X}(f(X.Y),f(X)) \in A[Y] \;\) se anula en \(\frac{{\alpha}_{i}}{{\alpha}_{j}}\) con \(1\leqslant j,i\leqslant n.\)
\(({i}^{3})\) Usar un razonamiento similar al del ítem anterior para encontrar un polinomio en \(A[Y]\) que se anule en \({\alpha}_{i}.{\alpha}_{j}\) con \(1\leqslant j,i\leqslant n.\)
(Observación: los ítems\((i)\)y\(({i}^{3})\) ,se puede deducir que el conjunto de elementos enteros de un subcuerpo de \(\mathbb{C}\) es un anillo.)
EJERCICIO 4:
Sean \(\; \mathbb{Z}\subset A \subset B \;\) dominios de factorización única tal que \(A\) es un subanillo de \(B\).Sean \(f,g\) y \(h\in A[X]\) de grado positivo que se factorizan linealmente en \(B[X]\) (es decir,\(f=a\prod_{i=1}^{d}(X-{\alpha}_{i}) \;\) , \(\; g=b\prod_{i=1}^{d`}(X-{\beta}_{i}) \;\) y \(\; h=c\prod_{i=1}^{d``}(X-{\gamma}_{i}) \;\) con a,b y c en \(A\) y \(\; {\alpha}_{i} \;\) , \(\; {\beta}_{i} \;\) y \(\; {\gamma}_{i} \;\) en \(B\) para todo \(i,j\) y \(k\))
\((i)\) Probar que \(Res(f,g,h)=Res(f,g).Res(f,h)\)
\(({i}^{2})\) Probar que, para todo \(\; r\in A \; , \; Disc((x-r).f)={(f(r))}^{2}.Disc(f)\)
EJERCICIO 5:
\((i)\) Calcular el discriminante del polinomio \({X}^{3}+pX+q \; \in\mathbb{R}[X].\) Dar una condición necesaria y suficiente usando el discriminante para que el polinomio tenga sus tres raíces reales.
\(({i}^{2})\) Deducir la misma condición anterior pero usando el algoritmo de Sturm.
\(({i}^{3})\) Sea \(f \in\mathbb{R}[X]\) de grado mayor o igual que 2 sin raíces múltiples. Probar que el signo del discriminante es \(f\) es \({(-1)}^{\frac{k}{2}}\) donde \(k\) es el número de raíces de f complejas no reales.