si mira, lo que podes escribir es:
[...] entonces tengo que \(\;u.{p}^{n}=v.{p}^{m}\;\) con \(\;u,v\in U({\mathbb{Z}}_{(p)})\therefore\;\) digamos que \(u=\frac{{u}_{1}}{w}\) y \(v=\frac{{v}_{1}}{b}\) con\(({v}_{1}:p)=({u}_{1}:p)=(b:p)=(w:p)=1\).Entonces la igualdad me queda expresada de las siguiente manera:
\(\frac{{u}_{1}}{w}.{p}^{n}=\frac{{v}_{1}}{b}.{p}^{m}\Rightarrow\) \(b.{u}_{1}.{p}^{n}=w.{v}_{1}.{p}^{m}\) Ahora como \(b.{u}_{1}.{p}^{n}\in\mathbb{Z}\) y \(w.{v}_{1}.{p}^{m}\in\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{Z}\) es un DFU, resulta que \(m=n\)
Sólo hay que tratar de llevar las cosas a \(\mathbb{Z}\) para poder usar lo que ya sabemos..es sólo un detalle, pero bueno..un detalle al fin...salu2!