EJERCICIO 1:
Factorizar en \(\; \mathbb{Z}[x] \;\) el polinomio \(\; {X}^{5}+{X}^{4}+{X}^{2}+X+2 \;\) usando el algoritmo de factorización efectiva.
EJERCICIO 2:
\((i)\) Sea \(\; f={X}^{n}+{a}_{n-1}{X}^{n-1}+....+{a}_{0}\in\mathbb{Z}[x] \;\) y sea \(\; p\in\mathbb{N} \;\)un número primo. Si \(p\) divide a \(\; {a}_{i} (0\leq i \leq n-2) \;\) y \({p}^{2}\) no divide a \({a}_{0}\), probar que\(\; f \;\)es irreducible en \(\; \mathbb{Z}[X] \;\) o tiene una raíz en \(\; \mathbb{Z} \;.\)
\(({i}^{2})\) Probar que \(\; {X}^{5}+{X}^{4}+{3X}^{3}+{9X}^{2}+3 \;\) es irreducible en \(\; \mathbb{Q}[X].\)
EJERCICIO 3:
\((i)\) Probar que los siguientes polinomios son irreducibles en \(\; \mathbb{Q}[X] :\)
\(a)\) \({X}^{6}+{X}^{3}+1\)
\(b)\) \({X}^{4}-{X}^{3}+2X+1\)
\(c)\) \({X}^{4}+{4X}^{3}+{32X}^{2}+8X-16\)
\(({i}^{2})\) Probar que el polinomio \(\; {X}^{4}+1 \;\) es irreducible en \(\; \mathbb{Z}[X] \;\) pero es reducible en \(\; \mathbb{Z}}_{p}[X] \;\) para todo \(\; p \;\) primo.
\(({i}^{3})\) Sea \(\; p\in\mathbb{N} \;\) primo impar y sea \(\; n\in\mathbb{N} \; .\) Probar que el polinomio \(\; {X}^{n}-p \;\) es irreducible en \(\; \mathbb{Q}[\imath][X]\)
EJERCICIO 4:
Hallar todos los valores de \(\; a\in\mathbb{R} \;\) tales que
EJERCICIO 5:
\((i)\) Separar las raíces reales del polinomio \(\; {X}^{4}-{X}^{3}-{X}^{2}-X+1 \;\) ubicándolas en intervalos disjuntos.
\(({i}^{2})\) sea \(\; a\in\mathbb{R} \;.\) Hallar la cantidad de raíces reales del polinomio \(\; {X}^{3}-{3X}^{2}+2X+a \;\) para los distintos valores de \(\; a.\)