EJERCICIO 1:
\((i)\) Caracterizar todas las soluciones naturales (x,y,z) de la ecuacion \(\; {x}^{2}+2{y}^{2}={z}^{2}.\)
\(({i}^{2})\) Probar que la ecuacion \(\; {x}^{4}+4{y}^{4}={z}^{2} \;\) no tiene soluciones naturales.
EJERCICIO 2:
\((i)\) Sea \(\; A \;\) un \(\; DFU \;\) y \(\; \mathbb{K} \;\) su cuerpo de fracciones. Sea \(\; f\in A[x]\exists\;g,h\in\mathbb{K}[x] \;\) con f=g.h.
Probar que existen \(\; a,b\in\mathbb{K}/\;f=(a.g)(b.h) \;\) con \(\; a.g,b.h\in A[x].\)
\(({i}^{2})\) Sea \(\; A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \;\) y sea \(\; \mathbb{K} \;\) su cuerpo de fracciones. Probar que el conjunto \(\; 3{x}^{2}+4x+3 \;\) es irreducible en \(\; A[x] \;\) pero es reducible en \(\; \mathbb{K}[x].\)
\(({i}^{3})\) Sean \(\; f,g\in\mathbb{Q}[x]\;/\;f.g\in\mathbb{Z}[x].\;\) Probar que el producto de cualquier coeficiente de \(\; f \;\) por cualquier coeficiente de \(\; g \;\) es un numero entero.
EJERCICIO 3:
Sea \(\; p\in\mathbb{Z} \;\) primo mayor que 3, tal que \(\; p\equiv3\;(4) \;\) y \(\; q=2p+1 \;\) es primo. Probar que \(\; {2}^{p}-1 \;\) no es primo.
\(SUGERENCIA: \;\) Probar que \(\; q\vert{2}^{p}-1.\)
EJERCICIO 4:
\((i)\) Caracterizar los primos de \(\; \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \;\) y los de \(\; \mathbb{Z}[\sqrt{-2}].\)
\(({i}^{2})\) Caracterizar los \(\; n\in\mathbb{N}\;/\;n={a}^{2}+2{b}^{2} \;\) con \(\; a,b\in\mathbb{Z}.\)
EJERCICIO 5:
Probar que hay infinitos primos naturales de la forma \(\; 5k+4.\)
\(SUGERENCIA: \;\) Considerar el polinomio \(\; ({(10x)}^{2}-5).\)
EJERCICIO 6(OPTATIVO): \(Sea\;n\in\mathbb{N} \;\) libre de cuadrados y \(\; n\geq3 \;\) sea \(\; A=\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]\)
\((i)\) Probar que \(\; 2,\sqrt{-n} \;\) y \(\; (1+\sqrt{-n}) \;\) son irreducibles en \(\; A.\)
\(({i}^{2})\) Probar que \(\; \sqrt{-n} \;\) y \(\; (1+\sqrt{-n}) \;\) no son simultaneamente primos en \(\; A.\)
Notar que de lo anterior se deduce que el anillo de enteros de \(\; \mathbb{Z}[\sqrt{-n}] \;\) no es un \(\; DFU \;\) para \(\; -n\equiv\;2,3\;(4) \;\) con \(\; n\geq5.\)