EJERCICIO 1:
(a) Factorizar \(\; (66+162i) \;\) en \(\; \mathbb{Z}[\imath] \;\) como producto de irreducibles.
(b) Hallar todos los pares \(\; (z,w)\in\mathbb{Z}[\imath]}^{2} \;\) que satisfacen la ecuacion: \(\; (-8+14i).z+(5+5i).w=-1+23i\)
EJERCICIO 2:
Probar que si \(\; p\in\mathbb{N} \;\) es un primo / \(p={a}^{2}+{b}^{2} \;\) con \(\; a,b\in{N}_{0} \;\) entonces \(\; a \;\) y \(\;b \;\) son unicos salvo el orden. Escribir \(\;TODAS\;\) las descomposiciones posibles de 70785 como suma de dos cuadrados.
EJERCICIO 3:
(a) Probar que\(\; \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] \;\) no es\(\; DFU\).
(b) Probar que\(\; \mathbb{Z}[i\sqrt{2}] \;\) es un dominio euclideano. Calcular las unidades.
(c) Probar que\(\; \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \;\) es un dominio euclideano.
EJERCICIO 4:
Hallar todos los enteros x,y que satisfacen \(\; {x}^{2}+2={y}^{3}\)
EJERCICIO 5: \(UNIDADES\;DE\;\mathbb{Z}[\sqrt{3}]\)
(a) Probar que la ecuacion\(\; {a}^{2}-3{b}^{2}=-1 \;\)no tiene soluciones enteras.
(b) Probar que si \(\; a+b\sqrt{3}\gneq1 \;\) es una unidad\ de\(\; \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \;\) entonces \(\; \exists\;n\in\mathbb{N}/\;a+b\sqrt{3}={(2+\sqrt{3})}^{n}.\)
(c) Caracterizar todas las unidades de \(\; \mathbb{Z}[\sqrt{3}]\)