EJERCICIO 1:
$$Sea\; \mathbb{A}\; un\; DFU\; y\; sean\; a,b,c \in \mathbb{A}-\{0\},\; con\; a\; y\; b\; coprimos\;. Sea\; n\in\mathbb{N}/\;a.b={c}^{n}.Probar\; que\; \exists\; u,v\in\;U(\mathbb{A})\; y\; {a}_{1},{b}_{1} \in\mathbb{A}\; /\; a=u.{{a}_{1}}^{n}\; y\; b=v.{{b}_{1}}^{n}$$
EJERCICIO 2:
$$A=\lbrace\; \sum_{i=0}^{n}{a}_{i}{x}^{i} \in \mathbb{Q}[x] /\; {a}_{0} \in\mathbb{Z}\rbrace.\; Probar\; que:$$
**(a)** \(A\;es\;un\;subanillo\;de\;\mathbb{Q}[x]\;y\;sus\;unidades\;son\;1\;y\;-1.\)
**(b)** \(Todo\;primo\;positivo\;de\;\mathbb{Z}\;resulta\;primo\;de\;A\;y\;dos\;primos\;positivos\;distintos\;de\;\mathbb{Z}\;no\;son\;asociados\;en\;A.\)
**(c)** \(X\;no\;puede\;escribirse\;como\;producto\;de\;finitos\;primos\;irreducibles\;en\;A.\)
EJERCICIO 3:
$$Sea\;p\in\mathbb{N}.\;Probar\;que\;{\mathbb{Z}}_{(p)}=\lbrace\; \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\;/\;b\;y\;p\;son\;coprimos\rbrace\;es\;un\;DFU.\;Calcular\;U(\mathbb{\mathbb{Z}}_{(p)}})\;y\;sus\;asociados.$$
EJERCICIO 4:
$$Sea\;p\in\mathbb{N}.\;Probar\;que\;\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]\;es\;un\;DFU.\;Calcular\;sus\;irreducibles\;y\;unidades.$$
$$SUGERENCIA:\;Probar\;primero\;que\;\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]=\lbrace\;a.{p}^{n}\;/\;a,n\in\mathbb{Z}\;y\;a\;y\;p\;son\;coprimos\rbrace.$$
Firma
$$\mathfrak{Supongamos\; que\; si\; y\; claramente\; lleguemos\; a\; un\; Abs!!!\;} \hspace{0.1cm}\Box$$