EJERCICIO 1:
Sea \(A\in {K}^{nxn}\) y \(P\in K[X]\) irreducible. Probar que \(P\mid {m}_{A} \Leftrightarrow P\mid {X}_{A}.\)
EJERCICIO 2:
Sea \(f: {K}^{n} \rightarrow {K}^{n}\) una transformación lineal.
\((i)\) Sea \({m}_{f}= \prod_{i=1}^{r} {{P}_{i}}^{{\alpha}_{i}}\) con \({P}_{i}\in K[X]\) irreducibles mónicos y \({P}_{i}\neq {P}_{j}\) si \(i \neq j.\) Si \(S\) es un subespacio de \({K}^{n}\) f-invariante, probar que \(S =\bigoplus_{i=1}^{r} (S \cap Nu({P}_{i}}^{{\alpha}_{i}}(f))).\)
\(({i}^{2})\) Probar que, si \(f\)es diagonizable, para todo subespacio \(S\) \(f\)-invariante existe un subespacio \(T\) \(f\)-invariante tal que \({K}^{n}= S \oplus T.\)
EJERCICIO 3:
\((i)\) Probar que \(f\) admite un vector cíclico si y sólo si \({m}_{A}={X}_{A}.\)
\(({i}^{2})\) Probar que si existe un vector cíclico para \({f}^{2}.\) entonces existe un vector cíclico para \(f\). ¿Vale la recíproca?
\(({i}^{3})\) Si \(f\) admite un vector cíclico, probar que toda transformación lineal \(g: {K}^{n} \rightarrow {K}^{n}\) que conmuta con \(f\) es un polinomio de \(K[X]\) evaluado en \(f\).
\((iv)\) (OPTATIVO) Probar la recíproca del ítem anterior.
EJERCICIO 4:
Hallar las dos formas racionales de la siguiente matriz en \({\mathbb{Q} }^{4x4}\) y en cada caso calcular la matriz inversible que da la relación de semejanza.
EJERCICIO 5:
Sea \(A\in {\mathbb{R}}^{nxn}\) tal que \({A}^{2}+{I}_{n}=0.\) Demostrar que \(n\) es par y, si \(n=2k\), entonces \(A\) es semejante, en \({\mathbb{R}}^{nxn}\), a una matriz de bloques de la forma:
EJERCICIO 6:
\((i)\) Sea \(f: {K}^{n} \rightarrow {K}^{n}\) una transformación lineal. Probar que todo vector \(v\in {K}^{n}\) no nulo, es cíclico para \(f\) si y sólo si el polinomio \({X}_{f}\) es irreducible en \(K[X]\)
\(({i}^{2})\) Sea \(A\in {\mathbb{Q}}^{nxn}.\) Si los únicos subespacios \(A\)-invariantes de \({Q}^{n}\) son el {0} y \({Q}^{n}\), probar que \(A\) es diagonizable en \({\mathbb{C}}^{nxn}\)