1r parcial 2do cuatri 2010

Ejercicio 1
Los sucesos \(A_1,...,A_n\) se llaman canjeables si para todo \(r:1\leq r\leq n\) y para todo conjunto de índices \(1\leq j_1<j_2<...<j_r\leq n\) se cumple que \(P(\cap_{k=1}^rA_{j_k})\) sólo depende de r y no de la elección de los índices.
a) Mostrar que si \(A_1,...,A_n\) son indep y además \(P(A_i)=p\) para todo i, entonces son canjeables.
b) Considerar el siguiente experimento. Se tienen N urnas numoeradas y sea \(U_i\) el suceso "elegir la urna i-ésima". Supongamos que \(P(U_i)=p_i\) con \(0<p_i<1\) y \(\sum_{i=1}^Np_i=1\) Además la urna i contiene \(a_i\) bolillas rojas y \(b_i\) blancas.
La experiencia consiste en elegir una urna con las probabilidades antes indicadas y de esa urna extraer n bolillas con reposición al azar. Sea \(A_k\) el suceso "se obtuvo una bolilla roja en la k-ésima extracción"
i) Mostrar que \(A_1,...,A_n\) son canjeables y en general no son indep.
ii) Calcular la probabilidad de que se hayan obtenido k bolillas rojas en las n extracciones exactamente.

Ejercicio 2
Sea X una v.a.cuya función de distribución está dada por \(F(x)=exp(-exp(-x+log(a)))\) con \(a>0\)
a) Siendo Y=\(exp (-X)\) Hallar la densidad de Y y decir a qué familia pertenece.
b) En un ciber hay 9 máquinas. El tiempo en meses que transcurre sin que la máquina i se rompa es una v.a. con la misma distrib que Y con a=1 para las máquinas 1 y 9, a=2 para la máq 2 y el resto a=3. El dueño del ciber elige al azar una máquina.
i) Hallar la densidad de la duración de la máquina elegida al azar.
ii) Sabiendo que la máqina elegida duró más de un mes sin descomponerse, hallar la prob de que dicha persona no haya elegido la máquina 1.

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Ejercicio 3
La prob de que una pareja tenga k hijos es \(p_k\) con \(\sum_{k=0}^{\infty}p_k=1\)cada hijo tiene prob 0.5 de ser varón o mujer. Supongamos que existen dos números reales positivos entre 0 y 1 a y p tales que ocurre: \(p_k=ap^k\) y consideremos las v.a.:
X:="cantidad de hijos que tiene la pareja"
y:="cant de hijos varones que tiene la pareja"
a) calcular a
b) Hallar el rango de Y y su función de probablidad puntual.
c) Sea A el evento "La pareja no tiene mujeres" Calcular P(A)
d) Si se sabe que una pareja no tiene hijas, ¿cual es la prob de que tenga sólo un hijo?
e) Dado que se sabe que una pareja tiene por lo menos un hijo varón ¿cual es la prob de que tenga 2 hijos varones?
f) ¿Son X e Y indep?

Ejercicio 4
(X,Y) es un vector aleatorio cuya densidad está dada por \(f(x,y)=2x^{-2}\) siempre que \(|x|<1,0<y<x^2\) y 0 en otro caso.
a) Hallar las densidades marginales
b)Decidir si X e _Y son indep
c) Encontrar la distribución de \(U=\frac{Y}{X^2}\)