enunciados del 2º parcial de 1º cuatrimestre 2010:
- Sean \(X_{1},...,X_{n\) variables aleatorias independientes con distribucion \(U(0,1)\), \(Z=min_{1 \leq i \leq n} X_{i}\) y \(W=max_{1 \leq i \leq n} X_{i}\)
a) Hallar \(P(Z>z,W\leq w)\)
b)Probar que la densidad conjunta de \((Z,W)\) es \(f_{Z,X}(x,t)=n(n-1)(t-x)^{n-2} I_{(0,1)}(x)I_{(x,1)}(t)\)
c)Consideremos las variables aleatorias rango medio y rango definidas como \(M=(Z+W)/2\) y \(R=W.Z\). Hallar la distribucion conjunta de \((M,R)\)
2)Sean \(\{Y_{i} \}_{n\in \mathbb{N}}\) variables aleatorias independientes con distribucion uniforme en \(\{0,1,2,...,9\}\) y sean \(X_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}/10^{i}\) y \(Z_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\)
a)hallar el limite de probabilidad de \(X_{n}/Z_{n}\)
b)probar que \(X_{n}\rightarrow X\) en distribucion donde\(X \sim U(0,1)\)
- Sean X e Y v.a. que satisfacen \(f_{X|Y=y}(x) \sim N(y,\sigma^{2})\) e \(Y\) es tal que\(P(Y=-1)=1/2\) y \(P(Y=1)=1/2\)
a)Calcular \(F_{X}(x)\) y \(f_{x}(x)\)
b)Calcular \(P(Y=-1,X \leq x)\)
c)expresar \(P(Y=-1, X\leq x)\) en funcion de \(P(Y=-1|X=t)\) y deducir el valor de \(P(Y=-1|X=x)\)
4)Sea \(X_{1},...,X_{n\) una muestra aleatoria de una variable con funcion de probabilidad puntual
$$p(x,\theta)=(\theta/2)^{|x|} (1-\theta)^{1-|x|}I_{\{-1,0,1\}}(x)$$
a)hallar \(\hat{\theta_{1}}\) el estimador de maxima verosimilitud y \(\hat{ \theta_{2}}\) un estimador de momentos de \(\theta\)
b)probar que ambos estimadores son consistentes y decir si son insesgados