2do parcial 2do cuatri 2010

Ejercicio 1
Sea \(X_1,...X_n\) una muestra aleatoria de una distribución con densidad \(f_{\theta}(x)=e^{-(x-\theta)}I_{(\theta,\infty)}(x)\)
a) Encontrar el estimador de máx verosimilitud \(\overline{\theta}\) de \(\theta\) basado en tal muestra.
b) Probar que el EMV del item anterior es fuertemente consistente.
c) Siendo \(Z_n:=min\{X_i:1\leq i\leq n\}\). Probar que \(Z_n\rightarrow\theta\)c.t.p. (esto es lo mismo que b, lo pusieron por si uno "no había estudiado EMV" y que no sume nada de puntos.)
Ejercicio 2
Sean \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) variables aleatorias indeps con distribución \(N(0,1)\) y sea \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de reales. Definimos \(X_n:=b_nY_n\). Probar que:
a)Si \(\sum_{i=1}^{\infty}b_i^2=B^2<\infty\) entonces \(\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow N(0,B^2)\) en distribución.
b)Si \(\sum_{i=1}^{\infty}b_i^2=+\infty\) entonces no existe ninguna variable W aleatoria de modo que \(\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow W\) en distribución.
c)Si \(b_i=i^{-\beta}\) entonces \(\frac{1}{n^{\beta}}\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow 0\) en probabilidad para todo \(\beta>\frac{1}{4}\)
SUGERENCIA: Lema de Kronecker: sean \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((c_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de reales tales que \((c_n)\) es creciente y además \(lim_{\infty}c_n=+\infty\). Si \(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{c_i}<\infty\) entonces \(lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{c_n}\sum_{k=1}^na_k=0\)
Ejercicio 3
Sean \((X_n)_{n\geq 1}\) vaiid con \(X_n~U(-1.1)\) Hallar el límite en distribución de las variables aleatorias siguietnes:

a)\(Y_n=\frac{\sqrt{n}\sum_{i=1}^nX_i}{\sum_{i=1}^nX_i^2}\)
b)\(Z_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^nX_i^2}}\)
c)\(W_n=n(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i})^2\)
Ejercicio 4
Sean \(X_2,Y\) vari aleat tales que \(X_2|Y=y\)~ \(\Gamma (2,\frac{\lambda}{y})\) e \(Y\)~ \(\epsilon (1)\)
a) Obtener la densidad del vector \((X_2,Y)\)
b) Calcular \(E(X_2),E(Y),V(X_2),V(Y)\)
c) Calcular \(Cov(X_2,Y)\)
(daban como info el momento n-ésimo de una exponencial:\(X\)~ \(\epsilon (1)\Rightarrow E(X^n)=\frac{n!}{\lambda^n}\) y la distrib de una gamma)
Ejercicio 5
Sea X una variable aleatoria discreta con rango finito e Y una var aleat continua. \(F_Y(.)\) es una función contínua. Si además X e Y son independeintes probar que X+Y es una v.a. continua:\(F_{X+Y}(.)\) es una función continua.
Desafío: pruebe el resultado anterior sin la hipótesis de rango finito pra la variable X.

Disculpen que lo divida en dos, pero no sé por qué mi programa cuando pongo cosas muy largas comienza a saltar y es imposible escribir.