Practica 6 ejer. 7.a)

Buenas!!!

Tengo una duda de como calcular el orden del polo en este ejercicio y la parte singular. Si alguien me hace el favor de hacerme una brevísima explicación le agradezco mucho.

Si pones el enunciado probablemente sea mas facil responderte...

\(f(z)=(z^2+1)/(z(z-1))\) te pide clasificar singularidades y si es polo calcular el orden y laparte singular. muchas gracias

Única regla del foro: Nunca preguntes por un ejercicio cuyo enunciado no incluís, y usá LaTeX!

Esta función tiene polos en \(z= 0\) y \(z = 1\) [como es el cociente de dos holomorfas, las singularidades son los ceros de la función de abajo].

Tenés entonces que hay un polo en \(z=0\), busquemos su orden. La función es \(f(z) = \frac{z^2 + 1}{z(z-1)}\). Fijate que la podés escribir como \(f(z) = \frac{1}{z} \cdot \frac{z^2 +1}{z-1}\); la parte de la derecha es holomorfa en 0, y la parte de la izquierda tiene un polo de orden \(1\) en \(0\). De esto se deduce que el producto tiene un polo de orden \(1\).

La parte singular la sacás así: escribris la serie de potencias de \(\frac{z^2 +1}{z-1}\), que es \(\sum_{n= 0}^\infty a_n z^n\) [fijate quienes son los \(a_n\)], y entonces \(f(z) = 1/z \cdot \sum_{n= 0}^\infty a_n z^n = \frac{a_0}{z} + a_1 + \ldots\), donde el resto de los términos tienen exponente positivo. La parte singular es precisamente la que tiene los exponentes negativos

Saludos.