los desarrollos de Fourier en serie de cosenos y senos, respectivamente, de f y de g.
a)¿Se puede afirmar que f(x)=S(x) y que g(x)=T(x)?
b)¿Es lícito obtener T(x) derivando término a término S(x)?
c)¿Es lícito obtener S(x) derivando término a término S(x)?
Sugerencia: graficar las extensiones de f y de g a los reales.
Para contestar todas estás preguntas, como dice la sugerencia del ejercicio, hay que analizar las extensiones de f y g a los reales.
Primero pregunta si f(x)=S(x), es decir, pregunta si la serie de cosenos de f(x) converge puntualmente a la función f(x).
El teorema de convergencia puntual para series trigonométricas dice:
Si f es \(2/pi\)-periódica y contínua a trozos, su serie trigonométrica converge puntualmente en cada punto donde existan las derivadas laterales de f, y convergerá hacia:
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$
es decir, al promedio de los límites laterales.
Volviendo al caso de la serie de cosenos de f(x), hay que aclarar cuál es esta f. Para poder escribir la serie de cosenos, hubo que extender la función, definida en el \((0,\pi)\), a una función par en el \((-\pi,\pi)\),
\(f(x)=sen(x)\) si \(x \in (0,\pi)\)
\(f(x)=sen(-x)\) si \(x \in (-\pi,0]\)
Esta función es par y es contínua. Como no tiene ningún punto de discontinuidad, el promedio de los límites laterales es la msima función en todos los puntos, así que S(x) converge puntualmente a f(x) en todo R.
Si se extiende imparmente el cos(x) para encontrar su serie de senos, la función \(2\pi-periodica\) en los reales no es contínua, por ejemplo en el 0. Si extendemos g haciendo que g(0)=0, entonces la serie T(x) sí converge a g(x) en todos los reales (no sé si vale hacer eso, puedo decidir cómo extenderla imparmente? porque como la función está definida en el abierto...)
Bueno, después pregunta si se puede obtener T(x) derivando término a término S(x). Como S(x) es contínua y tiene derivada contínua a trozos, se cumplen las hipótesis del teorema de derivación, así que g(x)=f'(x)=S'(x)=T(x).
En cambio, T(x) no es contínua, sino contínua a trozos, así que no cumple las condiciones del teorema de derivación, por lo tanto no es posible obtener S(x) derivando T(x) por más que f(x)=-g'(x).
Bueno... me parece bastante conceptual este ejercicio, así que me encantaría saber si estuvo bien lo que dije y si tuvfe algún error que alguien note, no duden en marcármelo 😄
cualquier crítica será bien recibida, sobre todo con el asunto de la extensión par/impar que nome queda del todo clara creo.
besooos
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Para contestar todas estás preguntas, como dice la sugerencia del ejercicio, hay que analizar las extensiones de \(f\) y \(g\) a los reales.
Primero pregunta si \(f(x)=S(x)\), es decir, pregunta si la serie de cosenos de \(f(x)\) converge puntualmente a la función \(f(x)\).
El teorema de convergencia puntual para series trigonométricas dice:
Si f es \(2\pi\)-periódica y contínua a trozos, su serie trigonométrica converge puntualmente en cada punto donde existan las derivadas laterales de f, y convergerá hacia:
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$
es decir, al promedio de los límites laterales.
Volviendo al caso de la serie de cosenos de \(f(x)\), hay que aclarar cuál es esta \(f\). Para poder escribir la serie de cosenos, hubo que extender la función, definida en el \((0,\pi)\), a una función par en el \((-\pi,\pi)\),
\(f(x)=sen(x)\) si \(x \in (0,\pi)\)
\(f(x)=sen(-x)\) si \(x \in (-\pi,0]\)
Esta función es par y es contínua. Como no tiene ningún punto de discontinuidad y tiene derivadas en todos sus puntos, el promedio de los límites laterales es la msima función en todos los puntos, así que S(x) converge puntualmente a \(f(x)\) en todo \(\mathbb R\).
Si se extiende imparmente el \(cos(x)\) para encontrar su serie de senos, la función \(2\pi -periodica\) en los reales no es contínua, por ejemplo en el 0. Si extendemos g haciendo que \(g(0)=0,\) entonces la serie T(x) sí converge a g(x) en todos los reales (no sé si vale hacer eso, puedo decidir cómo extenderla imparmente? porque como la función está definida en el abierto...) ESto es perfectamente válido. La definiste donde no estaba definida... obviamente no la extendiste continuamente, pero bueh...
Bueno, después pregunta si se puede obtener T(x) derivando término a término S(x). Como S(x) es contínua y tiene derivada contínua a trozos, se cumplen las hipótesis del teorema de derivación, así que g(x)=f'(x)=S'(x)=T(x).
En cambio, T(x) no es contínua, sino contínua a trozos, así que no cumple las condiciones del teorema de derivación, por lo tanto no es posible obtener S(x) derivando T(x) por más que f(x)=-g'(x).
