[Pregunta] Pr. 7 Ej 11

Dice: encontrar los valores de \({A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}\) de modo que la función:

sea la mejor aproximación en media cuadrática de la función \(f(x)=1\) en (0,2).

Yo sé que si tengo el sistema ortonormal {\({{\phi}_{1},{\phi}_{2}.{\phi}_{3}}\)} con \({\phi}_{n}=sen(\frac{n\pi}{2})\), n=1,2,3,
la mejor aproximación en media cuadrática va a estar dada por:

Ahora bien, mi pregunta es la siguiente: para que esto valga tengo que elegir un p.i. que haga que mi sistema sea efectivamente ortonormal.. verdad? y tengo completa libertad a la hora de elegir? o va a haber uno sólo por alguna razón? porque el p.i. que definimos el otro día en clase no sirve, en este caso yo pensaría en integrar entre 0 y 2 auqnue tampoco me puse a ver si sirve (me parece que sí).. pero bueno, nada, esa es mi pregunta: hay algún criterio a la hora de elegir qué producto interno usar? porque de hecho el que vimos en la práctica tampoco es el mismo que el que vimos en la teórica.
Supongo que esto vale para cualquiera que elija y todo lindo, pero mi pregunta más bien es si hay alguna manera de encontrarlos o hay que buscarlo "a ojo".

bueno, desde ya agradezco la ayuda! 🙂

Cuando dice mejor aproximación en media cuadratica ya está implicito el producto interno, y seguramente es:
\(<f,g>\frac{1}{C}\int_0^2 f(x)g(x)dx\) donde \(C=\int_0^2 sin^2(\frac{\pi}{2}x)dx\)

aaah ya comprendí el asunto.

muchas gracias quimey!