Este prometí que lo colgaba.
Demostrar que para todo \(c \in \mathbb C \setminus \{ 0 \}\) y \(\varepsilon >0\), existe un número complejo \(z\) tal que \(|z| <\varepsilon\) y \(e^{1/z} = c\).
Empezmos tomando un \(a\) tal que \(e^a = c\). Entonces si tomamos \(z = 1/a\) se cumple la primera condición, aunque no necesariamente la segunda, la del módulo. Ahora, sabemos que si hay otro número \(a'\) que nos sirva, debe ser \(a' = a + 2 k \pi i\), con \(k \in \mathbb Z\). Entonces elegimos un \(a'\) de esa pinta, y tenemos que \(z = 1 / (a + 2 k \pi i)\). Si elegimos el \(k\) de módulo muy grande, entonces \(|z|\) será muy pequeño, menor que \(\varepsilon\) eventualmente, con lo que hemos encontrado un número de módulo muy pequeño que cumple con lo pedido.
Fíjense que esto dice que la función \(e^{1/z}\) toma todos los valores complejos (salvo el 0) arbitrariamente cerca de su singularidad escencial en \(0\). ¡Esto es cierto para cualquier función meromorfa con una singularidad escencial! Obviamente, la demostración presentada acá no se extiende al caso general 🙂.