Si \(f\) es una función con singularidades no evitables en \(i\) y en \(2i\), entonces su desarrollo en serie de Laurent en el anillo \(1 < |z| < 2\) tiene infinitos términos de exponente positivo no nulos, e infinitos términos de exponente negativo no nulos.
Sea \(f = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n + \sum_{n = 1}^\infty b_n z^{-n}\). Llamemos \(f_+\) a la función definida por la primera serie, y \(f_-\) a la definida por la segunda. Como esta es la serie de Laurent alrededor de \(0\) en el anillo indicado, el radio de convergencia de \(f_+\) es el radio externo de la serie de Laurent, es decir \(2\). Como es una serie de potencias, la función que define es holomorfa dentro de \(|z| < 2\), por lo tanto no puede tener una singularidad en \(i\). Si \(f_+\) no tiene una singularidad en \(i\), pero \(f = f_+ + f_-\) sí, eso implica que \(f_-\) debe tener una singularidad en \(i\). Si \(f_-\) fuera una suma finita d epotencias negativas, tendría una discontinuidad a lo sumo evitable en \(i\), cosa que por hipótesis no pasa. Por lo tanto, la serie de \(f_-\) debe ser infinita. Un razonamiento análogo con la singularidad escencial de \(2i\) y el radio externo de convergencia permite concluir que \(f_+\) es una serie infinita.
Pregunta:
Si \(f(z)\) tiene un desarrollo finito de potencias negativas, no quiere decir que esa singularidad es un polo? y los polos no son evitables
Gracias
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Es una cuestión un poco sutil. El tema es así. Si una función tiene desarrollo en serie de Laurent con finitos términos negativos alrededor del punto \(z_0\). Entonces tiene un polo en el punto \(z_0\).
El tema es que después esta función en un punto distinto de \(z_0\) va a ser continua, porque es suma de funciones continuas fuera de \(z_0\). Yo lo que estoy diciendo es que una serie de la forma \(\frac{b_n}{z^n} + \ldots + \frac{b_1}{z}\) no tiene problemas en \(i\), no tiene ningún tipo de discontinuidad. Lo que tiene es un polo en \(0\), porque la serie está centrada en \(0\).
Mmm, lo que entedí entonces es:
Si f tiene una singularidad esencial, no importa que centro tome para hacer mi desarrollo de Laurent, el desarrollo siempre tendrá infinitos términos negativos.
No me cierra mucho eso.
No exactamente. Si una función tiene una singularidad escencial en el interior del radio de convergencia de su parte entera, entonces su parte singular tiene infinitos términos no nulos.
¿Se supone que eso lo tenemos que deducir de la "teoría" que nos dieron sobre singularidades?
Para probar que \({f}_{+}\) tiene infinitos términos eso no lo podés usar, ya que \(2i\) no está dentro del radio de convergencia y f no tendría parte entera cuyo radio de convergencia tenga adentro al \(2i\) (porque ya estás afuera de las singularidades)
Para la otra parte:
¿Trabajo con \(f( \frac{1}{z})\)? Entonces el radio de convergencia de \({f}_{-}( \frac{1}{z})\) es 1 (converge en \(\vert z \vert <1\), ya que \({f}_{-}( z)\) convergía en \(\vert z \vert >1\)) y el \(\frac{1}{2i}\) está incluido, ahí utilizo el razonamiento anterior