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Tema

[Sin resolver]Pr.6 Ej.10

7 respuestas 9251 visitas
#1 Tati!

el ejercicio narra...

$$\frac{Am z^m +...+ A1 z +Ao}{Bn z^n +...+ B1 z +Bo}$$
Probar a. \(\infty\) es a lo sumo una singularidad aislada. b. Si m es menos igual a n, f es holo en \(\infty\) ¿Cuánto vale f en el punto en e infinito? c. si m es mayor igual a n, \(\infty\) es un polo. Hallar su orden.

Bueno la cuestiòn es que no sé como laburar con singularidades en el inifito, osea que significan o cual es bien su definiciòn. Otra cosa q no termino de entender es como se relacionan las singularidade con los residuos ( si es q lo hacen) y si el residuo en el infinito me sirve para la resoluciòn de este ejercicio o para cualquier otro con este tipo de singularidades locas.

Espero vuestras respuestas 😄
pd: hay algun libro de consulta, aparte del Churchill q pueda estar bueno? ❓

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...Love is my religion...

#2 Pato

Para trabajar en el infinito usás la proposicón (?) que dice que:
El comportamiento de \(f(z)\) en \(\infty\) es igual al comportamiento de \(f(\frac{1}{z} )\) en el \(0\)

Para este ejercicio usa esa proposición, plantea \(f(\frac{1}{z} )\) y trabajá con eso, cualquier cosa preguntá.

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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'

#3 Tati!

Yo lo uso, pero y esa proposición de donde salio???

#4 Pato

A mí me la dijieron en la práctica.

Con los dedos se puede ver fácilmente, sin los dedos no sé.

#5 Martin

LA puta madre q lo pario, estube media hr escribiendo esto por q me cuesta soy medio tarado y ahora va devuelta por q colgo, ya fue espero q sirva

vos tenes que: (espero que se entienda la notacion por q fue la única forma)
Sean \({A}^{1}(z)=\sum_{i=1}^{m}{A}_{i}{z}^{i}\)

$${B}^{1}(z)=\sum_{i=1}^{n}{B}{i}{z}^{i}$$

$${A}^{2}(z)={z}^{m}\sum{i=1}^{m}{A}{i}{z}^{i-m}$$

$${B}^{2}(z)={z}^{n}\sum{i=1}^{n}{B}_{i}{z}^{i-n}$$

entonces la funcion del ej es \(f(z)=\frac{{A}^{1}(z)}{{B}^{1}(z)}\)

$$\rightarrow$$
$$f(z)=\frac{{z}^{m}}{{z}^{n}}\frac{{A}^{2}(z)}{{B}^{2}(z)}=$$
$$f(z)=\frac{1}{{z}^{n-m}}\frac{{A}^{2}(z)}{{B}^{2}(z)}$$

Luego si m<n \(\rightarrow\)

$$\lim_{x \rightarrow \infty}f(z)=0$$
esto es por que: \(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{{z}^{n-m}}=0\) y \(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{A}_{i}{z}^{i-m}=0 \forall i<m\)
$$\rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}{A}^{2}(z)={A}_{m}$$
Y analogamente \(\lim_{x \rightarrow \infty}{B}^{2}(z)={B}_{n}\)

si m=n \(\rightarrow\)

$$\lim_{x \rightarrow \infty}f(z)=\frac{{A}_{m}}{{B}_{n}}$$
De manera parecida pero esta vez
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{{z}^{n-m}}=1$$

En ambos casos por un teoremita que nos dijeron q en la práctica demostraban pero nunca hicieron esas \(\infty\) es sing evitable

si m>n \(\rightarrow\)

$$\lim_{x \rightarrow \infty}f(z)=\infty$$
por que \(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{{z}^{n-m}}=\infty\)

y por el mismo teo que Nunca demostraron \(\infty\) es un polo

Bueno de lo siguiente no estoy segur pero creo q es verdad, si alguien sabe que miento por favor diganlo aca por mi bien y el de la gente q me puede creer. Las singularidades evitables, polos y sing. esenciales son todas aisladas, entonces probaste que es aislada

#6 Martin

Lo que dice pato es verdad yo creo que por usar cambio de variable y nada mas digamos es lo mismo lo siguiente:

$$\lim_{z \rightarrow \infty}f(z)=\lim_{w \rightarrow 0}f(\frac{1}{w})$$

Esta claro que defino en el cambio de variables \(z=\frac{1}{w}\)

Edit: Y sirve lo mas bien para cualquier z es distinto de 0 por que cualquier z distinto de 0 tiene inverso

Otra cosa me gustaria decir aca, ya que estoy, y pese a todo el quilombo que se armo en el foro por que se el mal uso de los post, que la materia esta o aunque sea la teoríca de la mañana nos dejan bastante en pelotas. No vemos ninguna demostración y las q vemos algunas si pero la mayoría no tienen la seriedad q me gustaría. Digo esto por que al final repercute en el aprendisaje de los temas de la materia. Y no se si hablo por todos los físicos, pero aunque sea por mí, diciendo q me gustaría una materia mas seria y rigurosa. Ojala q alguien piense parecido.

Editado 4 veces.

#7 Pato

Una cuestión Martín, ¿z puede tender a infinito? (en los límites pusiste x, pero supongo que querías poner z)
El módulo de z puede tender a infinito pero z en sí no sé, estarías diciendo que hay un z más grande que otro y en los complejos no hay orden.
Por eso usás la proposición que dije antes.
Esto CREO que es así, talvez no lo sea.

EDIT: Justo actualizaste Martín, pero la cuestión de si es correcto decir que z tiende a infinito queda abierta, a mí criterio.

#8 Martin

Si es verdad siempre que dice x es modulo de Z y en el ultimo post es modulo de z tambien. Lo de la x de copiar y pegar como un alienado me paso, lo de la z es conceptual pero fue un descuido. Tiene razón el gran amigo Pato.
Igual lo último, habria q revisar como definimos infinito en complejos. En el caso de los reales la definición q mas me gusta es que es el supremo de los reales. Se puede definir que z un numero complejo tiende a infinito cuando su modulo tiende a infinito y fue, como definición. Por q como vos decías
\(\mathbb{C}\) no tiene orden y entonces no hay un supremos. Por eso no se podría definir de la misma forma.