Este ejercicio me lo preguntaron varios. Acá va un resúmen de cómo resolverlo. Ojo, van indicaciones, no lo hago completo.
Se define la exponencial compleja como \(e^z := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\).
Observación: Esto se lleva bien con la idea de que \(e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\), ¿lo ven?
a) Probar que es entera y calcular su derivada
Para ver que la función es holomorfa en un punto basta ver que la serie converge uniformemente en un entorno del punto. Hacen Cauchy y el radio de convergencia es infinito, así que si eligen un punto \(z\), agarran la bola de radio \(2|z|\) y la serie converge uniformemente ahí adentro. En particular es holomorfa en \(z\), y como \(z\) era cualquiera, la exponencial es holomorfa en todo \(\mathbb C\), ie entera.
Para calcular la derivada, derivan término a término, y oh maravilla, les queda la epxonencial otra vez
b) Probar que \(e^{z + z'} = e^z \cdot e^{z'}\) para todo \(z, z' \in \mathbb C\).
Por definición \(e^{z + z'} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z + z')^n}{n!}\). Usando el binomio de Newton, sacan que \(e^{z+z'} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k z'^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} z^k z'^{n-k} (*)\).
Por otro lado, dadas dos series que convergen absolutamente, la serie cuyo término general está dado por el producto de Cauchy oncerge al producto de las series punto a punto. Agarran las series de \(e^z\) y \(e^{z'}\), les calculan el producto de Cauchy y da (*)
c) Calcular:
\(|e^z| = |e^{x+iy}| = |e^x||e^{iy}| = |e^x| = e^x\)
El resto salen todos así, diviértanse.
d) Probar que nunca se anula.
Se deduce de que \(|e^z| = |e^x| = e^x \neq 0\).
h) \(|e^z -1| \leq e^{|z|}-1 \leq |z| e^{|z|}\)
\(|e^z-1| = |\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}| \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{|z|^n}{n!} = e^{|z|} - 1= |z| \sum_{n=1} \frac{|z|^{n-1}}{(n-1)! n} = |z| \sum_{n=0} \frac{|z|^n}{n! (n+1)} \leq |z| \sum_{n=0}^\infty \frac{|z|^n}{n!}\).