Práctica 4 - Ejercicio 12

Pongo este ejercicio, no tanto porque sea difícil sino para mostrar cómo me gustaría que justifiquen algo.

Probar que la serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2}\) tiene un valor finito sobre todos los puntos de su círculo de convergencia, pero que esto no es verdadero para su serie de derivadas.

Tomemos el término general \(a_n = \frac{z^n}{n^2}\). Si aplicamos el criterio de Cauchy, \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{\sqrt[n]{n^2}} = |z|\). Ahora, si este límite es menor que 1, entonces la serie converge. Si el límite es mayor que 1, la serie diverge. Entonces la serie, que está centrada en 0, tiene radio de convergencia 1.

Como la serie converge en el interior del círculo de centro cero y radio 1, bastará ver que también converge cuando \(|z|=1\). Para esto, notar que \(| \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2}| \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{|z|^n}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty\) [eh, loco... ¿quién tenía esa?]. Entonces la serie converge absolutamente, inclusive en el borde (una demostración alternativa para ver que converge con \(|z| \leq 1\) es usar esta misma cota,y mandar a Cauchy de paseo... ¿se ve?)

La serie de las derivadas es \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n z^{n-1}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n}\). Sabemos que el radio de convergencia de la serie de las derivadas es el mismo que el de la serie original, así que su radio de convergencia es 1. Restaría únicamente ver que no converge siempre sobre el borde. Si evaluamos en \(z = 1\), la serie que obtenemos es la armónica que como todos sabemos, diverge.

te hago una pregunta..

cómo sabés que \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)?

sé que ese no era el objetivo de tu post, pero me agarró la duda.

Yossarian escribió:

la serie que obtenemos es la armónica que como todos sabemos, diverge.

hm.

do we?

Una pregunta, de donde sale esto:
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)
Muchas gracias

EDIT: bel me ganó de mano

Se dio cuenta el bueno de Euler hace mucho tiempo. No es fácil, pero hay algunas demostraciones "truchas" dando vueltas por ahí. El problema es conocido como "El Problema de Basel". Una buena referencia está aca: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem [I heart wiki]; incluye la demostración original del Euler 🙂.

Hay una muy elemental, que usa una versión débil del lema de Riemann-Lebesgue y una expresión del núcleo de Dirichlet. Después la demostración, una vez probados estos dos resultados anteriores, sale en unos renglones. ¿A qué demostraciones te referís como "truchas"?
PD: ¿qué hago posteando acá?

Seguro que a la original de Euler que trata al seno como un polinomio y lo "factoriza"!
Esto se puede formalizar y hacerlo dejar la truchez.

Dale loco, esto es para dudas de los alumnos...
JUIRA!!!!!