$$\textrm{Probar que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{z}^{n}}{{n}^{2}}$ tiene un valor finito en todos los puntos interiores y sobre su circulo de convergencia, }$$
$$\textrm{pero que esto no es verdadero para la serie de las derivadas.}$$
Esto es lo que yo hice hasta donde me trabé:
Bueno, yo usando D'Alembert llegué a que la serie converge si |z|<1. Ahora me fijo qué pasa para los números que están en el borde, o sea, los de la forma \($z={e}^{i \phi}$\). Usando un z de esta forma me fijo si la serie converge uniformemente usando D'A y Cauchy. Ambos métodos tienden a 1, así que no me sirven. Y la verdad no se me ocurre ninguna otra forma de ver si la serie converge o no. Alguna pista?
bueno, desde ya muhcíiiisimas gracias!
edit: dicho sea de paso, tampoco sé cómo ver que la serie de las derivadas diverge en el borde, porque el término general tiende a 0.
edit 2: ahí agregué la serie, jaja. gracias quimey :p
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Salen los 2 (adentro y en el borde) por comparacion con \(\sum \frac{1}{n^2}\) que converge.
Si derivas termino a termino y evaluas en 1 te queda la serie armonica que diverge.
si \(|z|=1\) y \(z\not = 1\) las sumas parciales de \(z^n\) estan acotadas por \(2/|1-z|\) (intentalo y si es que no sale, decime) entonces por el criterio converge
y para\(z=1\) sabes que converge.
para la serie de las derivadas podes ver que en \(z=1\) no converge.
muchas gracias a ambos, lo de comparación ni se me había ocurrido u.u (alguien quiere sugerir que vuelvan a poner series en analisis 1 :p?)
no entendí de dónde sacas la cota para las sumas parciales, juanma... debe ser una pregunta tonta, pero mi conocimiento sobbre series es extremadamente limitado
La cota esa sale de que \(1 + z + z^2 + ... + z^n = \frac{z^n - 1}{z-1}\), usas desigualdad triangular y listo. De cualquier manera, no es necesario hacer eso. En el borde, tomás módulo, metés el módulo adentro de la serie, y tenés que
\(|\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n^2}| \leq \sum_{n=0}^\infty \frac{|z^n|}{n^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}\) que converge, luego la serie converge absolutamente en todos los puntos del borde.
Para lo otro usás el criterio de Dirichlet. Si no sale avisá.
Recuerdo que en Wiki ya armé un mini apunte de lo que vimos hasta ahora. Si falta algo, chiflen.